1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT) NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時
解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up
解き方 z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間:x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n
解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 59 791 850 a b 対照 41 369 410 c d
練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ランダム化比較試験で、850 人の患者が新しい治療を、410 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム(脳卒中などの望ましくないイベント) があった人数を示しています。 相対リスク減少 RRR を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
治療: 59/850 対照: 41/410
RRR = %
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 負 ? 合計 10 000
練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 10 000 人が、感度 73%、特異度 83% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 12% です。 検査で見逃される疾患のある人(偽陰性、FN )は何人ですか。
N = 10 000 p = 12% Se = 73% Sp = 83%
FN =
3. 記述統計 ふつう
20 25 30 35 40 45
データの標本標準偏差 s を求めなさい:29, 23, 37, 37, 27, 16, 45。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。82 より大きい値の割合 P はいくつですか?
μ = 70 σ = 8 x = 82
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 15, s = 2.5 L U x̄ = 44 E = ? 90%
15 個からなる標本の平均は 44、標準偏差は s = 2.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 15 x̄ = 44 s = 2.5 90% t(14) = 1.761
E =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 30 σ = ? U s = 6.5 95%
機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 6.5 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。
n = 30 s = 6.5 µm χ² = 16.047, 45.722
σ = µm
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 74、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75 x̄ = 74 s = 5 n = 49
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 80 人中 12 人、治療 B の患者 250 人中 27 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 12 n₁ = 80 x₂ = 27 n₂ = 250
z =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: RRR = 30.6 %
尤度比とリスク指標: LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 59/850 = 0.06941
CER = 41/410 = 0.1
相対リスク減少 ARR = 0.1 − 0.06941 = 0.03059
RRR = 0.03059/0.1 = 0.3059 ≈ 30.6%
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: FN = 324
予測値は有病率に依存します: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。
疾患のある人とない人 10 000·0.12 = 1200
10 000 − 1200 = 8800
3. 記述統計
答え: s = 9.796
記述統計: 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−1.571)² + (−7.571)² + 6.429² + 6.429² + (−3.571)² + (−14.57)² + 14.43² = 575.7
4. 記述統計
答え: P = 0.06681
記述統計: 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
5. 信頼区間
答え: E = 1.137
平均の信頼区間: x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 14, t = 1.761
誤差の幅 E = 1.761·2.5/√15 = 1.137
6. 信頼区間
答え: σ = 5.177 µm
分散の区間: (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値(その上に 2.5%)で割った値から、下側の χ² 値(その下に 2.5%)で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 29·6.5² = 1225
σ² の限界 1225/45.722 = 26.8
1225/16.047 = 76.35
σ の 95% 区間:[5.177, 8.738] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.4
平均の検定: 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。
標準誤差 SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143
検定統計量 t = (74 − 75)/0.7143 = −1.4
t = −1.4
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.013
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率 p̂₁ = 12/80 = 0.15
p̂₂ = 27/250 = 0.108
p̂ = 39/330 = 0.1182
H₀ のもとでの標準誤差 SE = √(0.1182·0.8818·(1/80 + 1/250)) = 0.04147
検定統計量 z = (0.15 − 0.108)/0.04147 = 1.013
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。