エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療59791850ab対照41369410cd

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ランダム化比較試験で、850 人の患者が新しい治療を、410 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム(脳卒中などの望ましくないイベント) があった人数を示しています。 相対リスク減少 RRR を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

治療: 59/850対照: 41/410
RRR = %
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査疾患あり疾患なし合計正負?合計10 000

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 10 000 人が、感度 73%、特異度 83% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 12% です。 検査で見逃される疾患のある人(偽陰性、FN)は何人ですか。

N = 10 000p = 12%Se = 73%Sp = 83%
FN =
3.記述統計ふつう
202530354045

データの標本標準偏差 s を求めなさい:29, 23, 37, 37, 27, 16, 45。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。82 より大きい値の割合 P はいくつですか?

μ = 70σ = 8x = 82
P =
5.信頼区間ふつう
n = 15, s = 2.5LUx̄ = 44E = ?90%

15 個からなる標本の平均は 44、標準偏差は s = 2.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 15x̄ = 44s = 2.590%t(14) = 1.761
E =
6.信頼区間むずかしい
n = 30σ = ?Us = 6.595%

機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 6.5 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。

n = 30s = 6.5 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
7.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.01102.011

学生 49 人の標本の平均点は 74、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 74s = 5n = 49
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
−1.961.96z = ?

ある臨床試験で、治療 A の患者 80 人中 12 人、治療 B の患者 250 人中 27 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 12n₁ = 80x₂ = 27n₂ = 250
z =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: RRR = 30.6 %

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 59/850 = 0.06941
CER = 41/410 = 0.1

相対リスク減少

ARR = 0.1 − 0.06941 = 0.03059
RRR = 0.03059/0.1 = 0.3059 ≈ 30.6%

答え

RRR = 30.6%
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: FN = 324

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

疾患のある人とない人

10 000·0.12 = 1200
10 000 − 1200 = 8800

偽陰性

FN = 1200·0.27 = 324

答え

FN = 324
3.記述統計

答え: s = 9.796

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 214/7 = 30.57

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−1.571)² + (−7.571)² + 6.429² + 6.429² + (−3.571)² + (−14.57)² + 14.43² = 575.7

標準偏差

s = √(575.7/6) = 9.796

答え

s = 9.796
4.記述統計

答え: P = 0.06681

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 1.5

標準正規分布表

Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681

答え

P = 0.06681
5.信頼区間

答え: E = 1.137

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 14, t = 1.761

誤差の幅

E = 1.761·2.5/√15 = 1.137

答え

E = 1.137
6.信頼区間

答え: σ = 5.177 µm

分散の区間:(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値(その上に 2.5%)で割った値から、下側の χ² 値(その下に 2.5%)で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 29·6.5² = 1225

σ² の限界

1225/45.722 = 26.8
1225/16.047 = 76.35

σ の限界

σ = √26.8 = 5.177 µm

答え

σ = 5.177 µm

σ の 95% 区間:[5.177, 8.738] µm。

7.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

標準誤差

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

検定統計量

t = (74 − 75)/0.7143 = −1.4

答え

t = −1.4
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| < 2.011 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: z = 1.013

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 12/80 = 0.15
p̂₂ = 27/250 = 0.108
p̂ = 39/330 = 0.1182

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.1182·0.8818·(1/80 + 1/250)) = 0.04147

検定統計量

z = (0.15 − 0.108)/0.04147 = 1.013

答え

z = 1.013

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。

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