エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）
NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
人数年118022310435802.5新規症例41

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました（表を参照：各群の人数と追跡年数）。追跡中に 41 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

180 × 2 年310 × 4 年580 × 2.5 年41 新規症例
IR = 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
p (%)PPV (%)20%PPV = ?100

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 75%、特異度は 81% です。有病率が 20% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 75%Sp = 81%p = 20%
PPV = %
3.記述統計ふつう
253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい：27, 24, 41, 38, 51。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 15 の正規分布に従います。176 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 15x = 176
P =
5.信頼区間ふつう
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：80 台、平均 121.5 h、既知の標準偏差 8 h。機種 2：60 台、平均 119 h、既知の標準偏差 15 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 80x̄₁ = 121.5 hσ₁ = 8 hn₂ = 60x̄₂ = 119 hσ₂ = 15 h99%
E = h
6.信頼区間むずかしい
μ₁ − μ₂, t(19) = 1.7290LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

2 種類の肥料を試験します。区画群 1：10 区画、平均収量 56 kg、標準偏差 9 kg。区画群 2：11 区画、平均 67 kg、標準偏差 10 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n₁ = 10x̄₁ = 56s₁ = 9n₂ = 11x̄₂ = 67s₂ = 1090%t(19) = 1.729
上限 = kg
7.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.0302.03

学生 36 人の標本の平均点は 102.8、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 102.8s = 8n = 36
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
−1.961.96z = ?

ある臨床試験で、治療 A の患者 120 人中 48 人、治療 B の患者 80 人中 28 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 28n₂ = 80
z =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: IR = 13.4 1000人年あたり

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

人年

PY = 180·2 + 310·4 + 580·2.5 = 3050

罹患率

IR = 41/3050·1000 = 13.4 1000人年あたり

答え

IR = 13.4 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: PPV = 49.7 %

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

真陽性と偽陽性（1人あたり）

Se·p = 0.75·0.2 = 0.15
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.19·0.8 = 0.152

陽性的中率

PPV = 0.15/(0.15 + 0.152) = 0.4967 ≈ 49.7%

答え

PPV = 49.7%

同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。

3.記述統計

答え: s = 10.94

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 181/5 = 36.2

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−9.2)² + (−12.2)² + 4.8² + 1.8² + 14.8² = 478.8

標準偏差

s = √(478.8/4) = 10.94

答え

s = 10.94
4.記述統計

答え: P = 0.6554

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 0.4

標準正規分布表

Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554

答え

P = 0.6554
5.信頼区間

答え: E = 5.495 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 121.5 − 119 = 2.5

標準誤差

SE = √(8²/80 + 15²/60) = 2.133

誤差の幅

E = 2.576·2.133 = 5.495

答え

E = 5.495 h

区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。

6.信頼区間

答え: 上限 = −3.793 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

プールした標準偏差

sp² = (9·9² + 10·10²)/19 = 91
sp = 9.539

誤差の幅

E = 1.729·9.539·√(1/10 + 1/11) = 7.207

区間

−11 ± 7.207 → [−18.21, −3.793]

答え

上限 = −3.793 kg
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

検定統計量

t = (102.8 − 100)/1.333 = 2.1

答え

t = 2.1
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: z = 0.7137

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 48/120 = 0.4
p̂₂ = 28/80 = 0.35
p̂ = 76/200 = 0.38

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.38·0.62·(1/120 + 1/80)) = 0.07006

検定統計量

z = (0.4 − 0.35)/0.07006 = 0.7137

答え

z = 0.7137

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

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