記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 0.4
標準正規分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
答え
P = 0.6554
5.信頼区間
答え: E = 1.254 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
臨界値
df = 7, t = 2.365
誤差の幅
E = 2.365·1.5/√8 = 1.254
答え
E = 1.254 mmHg
6.信頼区間
答え: n = 638
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 2.576²·0.6·0.4/0.05² = 637
切り上げる
n = 638
答え
n = 638
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.9
平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。
標準誤差
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
検定統計量
t = (99.55 − 100)/0.5 = −0.9
答え
t = −0.9
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。
8.仮説検定と信頼区間
答え: z = −3.004
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.