エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
人数年117052300532604新規症例152

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました(表を参照:各群の人数と追跡年数)。追跡中に 152 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

170 × 5 年300 × 5 年260 × 4 年152 新規症例
IR = 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査前15%検査後?p′LR+

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある患者の疾患の検査前確率は 15% です。感度 65%、特異度 73% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

検査前 15%Se = 65%Sp = 73%正
p′ = %
3.記述統計ふつう
1015202530354045

データの標本標準偏差 s を求めなさい:44, 48, 22, 11, 13, 10, 49。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。64.8 より小さい値の割合 P はいくつですか?

μ = 60σ = 12x = 64.8
P =
5.信頼区間ふつう
n = 8, sd​ = 1.50LUd̄ = 2.5E = ?95%

8 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後(mmHg)の平均は 2.5、標準偏差は 1.5 です。 差の平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 8d̄ = 2.5sd = 1.595%t(7) = 2.365
E = mmHg
6.信頼区間むずかしい
p ≈ 0.6, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0599%

予備調査によると、製品の約 0.6 が不良品です。 割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.05 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか?

p ≈ 0.6E = 0.0599%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
t −1.98401.984

学生 100 人の標本の平均点は 99.55、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 99.55s = 5n = 100
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
−1.961.96z = ?

ある臨床試験で、治療 A の患者 200 人中 80 人、治療 B の患者 200 人中 110 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 80n₁ = 200x₂ = 110n₂ = 200
z =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: IR = 44.8 1000人年あたり

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

人年

PY = 170·5 + 300·5 + 260·4 = 3390

罹患率

IR = 152/3390·1000 = 44.8 1000人年あたり

答え

IR = 44.8 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: p′ = 29.8 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

尤度比

LR+ = 0.65/(1 − 0.73) = 2.407

検査前オッズ

0.15/(1 − 0.15) = 0.1765

検査後オッズ

0.1765·2.407 = 0.4248

検査後確率

p′ = 0.4248/(1 + 0.4248) = 0.2982 ≈ 29.8%

答え

p′ = 29.8%
3.記述統計

答え: s = 18.12

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 197/7 = 28.14

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 15.86² + 19.86² + (−6.143)² + (−17.14)² + (−15.14)² + (−18.14)² + 20.86² = 1971

標準偏差

s = √(1971/6) = 18.12

答え

s = 18.12
4.記述統計

答え: P = 0.6554

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 0.4

標準正規分布表

Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554

答え

P = 0.6554
5.信頼区間

答え: E = 1.254 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 7, t = 2.365

誤差の幅

E = 2.365·1.5/√8 = 1.254

答え

E = 1.254 mmHg
6.信頼区間

答え: n = 638

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 2.576²·0.6·0.4/0.05² = 637

切り上げる

n = 638

答え

n = 638
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = −0.9

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

標準誤差

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

検定統計量

t = (99.55 − 100)/0.5 = −0.9

答え

t = −0.9
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: z = −3.004

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 80/200 = 0.4
p̂₂ = 110/200 = 0.55
p̂ = 190/400 = 0.475

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.475·0.525·(1/200 + 1/200)) = 0.04994

検定統計量

z = (0.4 − 0.55)/0.04994 = −3.004

答え

z = −3.004

|z| > 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されます。

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