エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療190490680ab対照96144240cd

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ランダム化比較試験で、680 人の患者が新しい治療を、240 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム(脳卒中などの望ましくないイベント) があった人数を示しています。 絶対リスク減少 ARR を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

治療: 190/680対照: 96/240
ARR = %
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
p (%)PPV (%)10%PPV = ?100

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 あるスクリーニング検査の感度は 90%、特異度は 99% です。有病率が 10% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 90%Sp = 99%p = 10%
PPV = %
3.記述統計ふつう
2025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい:29, 59, 40, 35, 16。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。52.5 より大きい値の割合 P はいくつですか?

μ = 60σ = 5x = 52.5
P =
5.信頼区間ふつう
n = 8, sd​ = 6.30L = ?Ud̄ = 4.2E99%

8 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後(mmHg)の平均は 4.2、標準偏差は 6.3 です。 差の平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 8d̄ = 4.2sd = 6.399%t(7) = 3.499
下限 = mmHg
6.信頼区間むずかしい
σ = 11, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.599%

母標準偏差は 11 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか?

σ = 11E = 1.599%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.1452.145t = ?df = 14

2 つの指導法を比べます。グループ 1:8 人の学生、平均点 62、標準偏差 5。グループ 2:8 人の学生、平均点 66.2、標準偏差 9.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂(グループ 1 − グループ 2)として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 8x̄₁ = 62s₁ = 5n₂ = 8x̄₂ = 66.2s₂ = 9.5
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.64501.645

36 回の測定の標本平均は 122.3 です。母標準偏差は 5 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 122.3σ = 5n = 3690%
U =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: ARR = 12.1 %

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 190/680 = 0.2794
CER = 96/240 = 0.4

絶対リスク減少

ARR = 0.4 − 0.2794 = 0.1206 ≈ 12.1%

答え

ARR = 12.1%
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: PPV = 90.9 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

真陽性と偽陽性(1人あたり)

Se·p = 0.9·0.1 = 0.09
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.01·0.9 = 0.009

陽性的中率

PPV = 0.09/(0.09 + 0.009) = 0.9091 ≈ 90.9%

答え

PPV = 90.9%

同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。

3.記述統計

答え: s = 15.77

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 179/5 = 35.8

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−6.8)² + 23.2² + 4.2² + (−0.8)² + (−19.8)² = 994.8

標準偏差

s = √(994.8/4) = 15.77

答え

s = 15.77
4.記述統計

答え: P = 0.9332

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −1.5

標準正規分布表

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332

答え

P = 0.9332
5.信頼区間

答え: 下限 = −3.594 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 7, t = 3.499

誤差の幅

E = 3.499·6.3/√8 = 7.794

区間

4.2 ± 7.794 → [−3.594, 11.99]

答え

下限 = −3.594 mmHg
6.信頼区間

答え: n = 357

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·11/1.5)² = 356.9

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 357

答え

n = 357
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.107

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

sp² = (7·5² + 7·9.5²)/14 = 57.63
sp = 7.591

標準誤差

SE = 7.591·√(1/8 + 1/8) = 3.796

検定統計量

t = (62 − 66.2)/3.796 = −1.107

答え

t = −1.107

df = 14 のとき、両側 5% の臨界値は 2.145 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: U = 123.7

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

誤差の幅

E = 1.645·5/√36 = 1.371

区間の端

U = 122.3 + 1.371 = 123.7

答え

U = 123.7

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