エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療144336480ab対照37123160cd

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ランダム化比較試験で、480 人の患者が新しい治療を、160 人が対照の治療を受けました。表は、各群で 副作用 があった人数を示しています。 治療によるイベントの相対リスク RR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

治療: 144/480対照: 37/160
RR =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
CER5%EER?RRR 10%

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある治療は、イベントのリスクを相対的に 10% 減らします(RRR = 10%)。ある患者群では、治療しない場合のリスク(CER)は5年間で 5% です。5年間でイベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。

RRR = 10%CER = 5%
NNT =
3.記述統計ふつう
303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい:28, 33, 56, 49, 48。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 50、標準偏差 5 の正規分布に従います。55 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 50σ = 5x = 55
z =
5.信頼区間ふつう
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1:30 台、平均 99.5 h、既知の標準偏差 12 h。機種 2:30 台、平均 102.5 h、既知の標準偏差 9 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 30x̄₁ = 99.5 hσ₁ = 12 hn₂ = 30x̄₂ = 102.5 hσ₂ = 9 h99%
E = h
6.信頼区間むずかしい
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

母標準偏差は 5 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか?

σ = 5E = 0.599%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.0452.045t = ?df = 29

2 つの指導法を比べます。グループ 1:14 人の学生、平均点 75、標準偏差 6。グループ 2:17 人の学生、平均点 69、標準偏差 5.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂(グループ 1 − グループ 2)として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 14x̄₁ = 75s₁ = 6n₂ = 17x̄₂ = 69s₂ = 5.5
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか?標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 20E = 2.595%
n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: RR = 1.3

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 144/480 = 0.3
CER = 37/160 = 0.2313

相対リスク

RR = 0.3/0.2313 = 1.297 ≈ 1.3

答え

RR = 1.3
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NNT = 200

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

絶対リスク減少

ARR = 0.05·0.1 = 0.005

治療必要数(NNT)

NNT = 1/0.005 = 200 → 200

答え

NNT = 200

同じ相対効果でも、ベースラインのリスクが高いほど NNT は小さくなります。

3.記述統計

答え: s = 11.78

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 214/5 = 42.8

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−14.8)² + (−9.8)² + 13.2² + 6.2² + 5.2² = 554.8

標準偏差

s = √(554.8/4) = 11.78

答え

s = 11.78
4.記述統計

答え: z = 1

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (55 − 50)/5 = 1

答え

z = 1
5.信頼区間

答え: E = 7.055 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 99.5 − 102.5 = −3

標準誤差

SE = √(12²/30 + 9²/30) = 2.739

誤差の幅

E = 2.576·2.739 = 7.055

答え

E = 7.055 h

区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。

6.信頼区間

答え: n = 664

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·5/0.5)² = 663.6

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 664

答え

n = 664
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.902

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

sp² = (13·6² + 16·5.5²)/29 = 32.83
sp = 5.73

標準誤差

SE = 5.73·√(1/14 + 1/17) = 2.068

検定統計量

t = (75 − 69)/2.068 = 2.902

答え

t = 2.902

df = 29 のとき、両側 5% の臨界値は 2.045 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 246

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

n について解く

n = (1.96·20/2.5)² = 245.9

切り上げる

n = 246

答え

n = 246

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