1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
Se 89% Sp 91% LR− = ?
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある検査の感度は 89%、特異度は 91% です。 陰性尤度比 LR− を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
Se = 89% Sp = 91%
LR− =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある患者の疾患の検査前確率は 5% です。感度 60%、特異度 81% の検査の結果は 負 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 5% Se = 60% Sp = 81% 負
p′ =
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40 45
データの標本標準偏差 s を求めなさい：44, 38, 13, 11, 41, 48。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 170、標準偏差 10 の正規分布に従います。174 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 170 σ = 10 x = 174
z =
5. 信頼区間 ふつう
n = 16, s = 9.5 L U = ? x̄ = 35.5 E 90%
16 個からなる標本の平均は 35.5、標準偏差は s = 9.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 16 x̄ = 35.5 s = 9.5 90% t(15) = 1.753
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
μ₁ − μ₂, t(15) = 2.131 0 L U = ? x̄₁ − x̄₂ E 95%
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：8 区画、平均収量 50.5 kg、標準偏差 2 kg。区画群 2：9 区画、平均 43.5 kg、標準偏差 3.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 8 x̄₁ = 50.5 s₁ = 2 n₂ = 9 x̄₂ = 43.5 s₂ = 3.5 95% t(15) = 2.131
上限 =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：60 個の部品の標本の平均長さは 145.5 mm で、ラインの既知の標準偏差は 8 mm です。ライン 2：50 個の部品の標本の平均は 141.4 mm、既知の標準偏差は 9 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
n₁ = 60 x̄₁ = 145.5 mm σ₁ = 8 mm n₂ = 50 x̄₂ = 141.4 mm σ₂ = 9 mm
z =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
σ = 15, n = ? x̄ − E x̄ + E x̄ E = 2 90%
平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 15 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 15 E = 2 90%
n =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR− = 0.12
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
陰性尤度比 LR− = (1 − 0.89)/0.91 = 0.1209 ≈ 0.12
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 2.5 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
尤度比 LR− = (1 − 0.6)/0.81 = 0.4938
検査前オッズ 0.05/(1 − 0.05) = 0.05263
検査後確率 p′ = 0.02599/(1 + 0.02599) = 0.02533 ≈ 2.5%
3. 記述統計
答え: s = 16.23
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 11.5² + 5.5² + (−19.5)² + (−21.5)² + 8.5² + 15.5² = 1318
4. 記述統計
答え: z = 0.4
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: 上限 = 39.66
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 15, t = 1.753
誤差の幅 E = 1.753·9.5/√16 = 4.163
区間 35.5 ± 4.163 → [31.34, 39.66]
6. 信頼区間
答え: 上限 = 10 kg
差の区間： 推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
プールした標準偏差 sp ² = (7·2² + 8·3.5²)/15 = 8.4
sp = 2.898
誤差の幅 E = 2.131·2.898·√(1/8 + 1/9) = 3.001
7. 仮説検定と信頼区間
答え: z = 2.501
仮説検定： 検定統計量 =（推定値 − H₀ のもとでの値）/（H₀ のもとでの標準誤差）。p 値は、H₀ が正しいと仮定したとき、観測されたもの以上に極端な統計量が得られる確率です：片側の H₁ では片側の裾の面積、両側の H₁ では裾の面積の 2 倍です。p ≤ α なら H₀ を棄却します。
差の標準誤差 SE = √(8²/60 + 9²/50) = √2.687 = 1.639
検定統計量 z = (145.5 − 141.4)/1.639 = 2.501
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: n = 153
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く n = (1.645·15/2)² = 152.2