1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 74 62 136 a b 負 6 178 184 c d 合計 80 240 320
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました（2 × 2 表を参照）。 陰性尤度比 LR− を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 74 b = 62 c = 6 d = 178
LR− =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 81%、特異度は 83% です。有病率が 3% の集団で用いられます。 陰性的中率 NPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 81% Sp = 83% p = 3%
NPV =
3. 記述統計 ふつう
34 36 38 40 42 44 46 48 50
データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 33, 49, 48, 50。
n = 5
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 70、標準偏差 5 の正規分布に従います。62.5 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 70 σ = 5 x = 62.5
z =
5. 信頼区間 ふつう
n = 7, s = 8 L U x̄ = 22 E = ? 90%
7 個からなる標本の平均は 22、標準偏差は s = 8 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 7 x̄ = 22 s = 8 90% t(6) = 1.943
E =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 25 L σ = ? s = 5.8 95%
機械加工した 25 本の軸の直径の標本標準偏差は 5.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 24 のとき、χ² 分布の 2.5% は 12.401 より下に、2.5% は 39.364 より上にあります。
n = 25 s = 5.8 µm χ² = 12.401, 39.364
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：60 個の部品の標本の平均長さは 67.5 mm で、ラインの既知の標準偏差は 9 mm です。ライン 2：80 個の部品の標本の平均は 73.9 mm、既知の標準偏差は 16 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
n₁ = 60 x̄₁ = 67.5 mm σ₁ = 9 mm n₂ = 80 x̄₂ = 73.9 mm σ₂ = 16 mm
z =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
16 回の測定の標本平均は 494.5 です。母標準偏差は 20 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 494.5 σ = 20 n = 16 99%
L =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR− = 0.1
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
感度と特異度 Se = 74/80 = 0.925
Sp = 178/240 = 0.7417
陰性尤度比 LR− = (1 − 0.925)/0.7417 = 0.1011 ≈ 0.1
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NPV = 99.3 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陰性と偽陰性（1人あたり） Sp·(1 − p) = 0.83·0.97 = 0.8051
(1 − Se)·p = 0.19·0.03 = 0.0057
陰性的中率 NPV = 0.8051/(0.8051 + 0.0057) = 0.993 ≈ 99.3%
3. 記述統計
答え: s = 7.463
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−4.8)² + (−10.8)² + 5.2² + 4.2² + 6.2² = 222.8
4. 記述統計
答え: z = −1.5
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: E = 5.875
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 6, t = 1.943
6. 信頼区間
答え: σ = 8.069 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 24·5.8² = 807.4
σ² の限界 807.4/39.364 = 20.51
807.4/12.401 = 65.1
σ の 95% 区間：[4.529, 8.069] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: z = −3
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差の標準誤差 SE = √(9²/60 + 16²/80) = √4.55 = 2.133
検定統計量 z = (67.5 − 73.9)/2.133 = −3
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: L = 481.6
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
区間の端 L = 494.5 − 12.88 = 481.6