エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療187243430ab対照122298420cd

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ランダム化比較試験で、430 人の患者が新しい治療を、420 人が対照の治療を受けました。表は、各群で 副作用 があった人数を示しています。 治療によるイベントの相対リスク RR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

治療: 187/430対照: 122/420
RR =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査前15%検査後?p′LR+

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある患者の疾患の検査前確率は 15% です。感度 80%、特異度 61% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

検査前 15%Se = 80%Sp = 61%正
p′ = %
3.記述統計ふつう
303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい:49, 57, 44, 42, 42, 44, 27。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 50、標準偏差 15 の正規分布に従います。32 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 50σ = 15x = 32
z =
5.信頼区間ふつう
x̄E₁ = 2.890%, n = 64x̄E₂ = ?95%, n = 256

σ が既知のもとで 64 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 2.8 です。 256 個の観測値に基づく 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか?

90%n₁ = 64E₁ = 2.895%n₂ = 256
E₂ =
6.信頼区間むずかしい
p ≈ 0.7, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.02599%

予備調査によると、製品の約 0.7 が不良品です。 割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.025 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか?

p ≈ 0.7E = 0.02599%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.1312.131t = ?df = 15

16 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前(1 分あたりの単語数)を記録します。差の平均は −2.33、差の標準偏差は 6.2 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 16d̄ = −2.33sd = 6.2
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 17, 検出力 95%, n = ?

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 17 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 95%δ = 5σ = 17zα = 2.326zβ = 1.645
n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: RR = 1.5

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 187/430 = 0.4349
CER = 122/420 = 0.2905

相対リスク

RR = 0.4349/0.2905 = 1.497 ≈ 1.5

答え

RR = 1.5
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: p′ = 26.6 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

尤度比

LR+ = 0.8/(1 − 0.61) = 2.051

検査前オッズ

0.15/(1 − 0.15) = 0.1765

検査後オッズ

0.1765·2.051 = 0.362

検査後確率

p′ = 0.362/(1 + 0.362) = 0.2658 ≈ 26.6%

答え

p′ = 26.6%
3.記述統計

答え: s = 9.034

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 305/7 = 43.57

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 5.429² + 13.43² + 0.4286² + (−1.571)² + (−1.571)² + 0.4286² + (−16.57)² = 489.7

標準偏差

s = √(489.7/6) = 9.034

答え

s = 9.034
4.記述統計

答え: z = −1.2

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (32 − 50)/15 = −1.2

答え

z = −1.2
5.信頼区間

答え: E₂ = 1.668

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(64/256) = 0.5957

新しい誤差の幅

E₂ = 2.8·0.5957 = 1.668

答え

E₂ = 1.668
6.信頼区間

答え: n = 2230

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 2.576²·0.7·0.3/0.025² = 2230

切り上げる

n = 2230

答え

n = 2230
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.503

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 6.2/√16 = 1.55

検定統計量

t = −2.33/1.55 = −1.503

答え

t = −1.503

df = 15 のとき、両側 5% の臨界値は 2.131 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 183

検定に必要な標本サイズ:有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 1.645)·17/5)² = 182.3

切り上げる

n = 183

答え

n = 183

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