1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 65 235 300 a b 対照 78 172 250 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、300 人の患者が新しい治療を、250 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 イベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。
治療: 65/300 対照: 78/250
NNT =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある患者の疾患の検査前確率は 10% です。感度 68%、特異度 81% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 10% Se = 68% Sp = 81% 正
p′ =
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
データの標本標準偏差 s を求めなさい：30, 36, 34, 41, 33, 13, 60。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。67.5 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60 σ = 5 x = 67.5
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 7, s = 1 L U x̄ = 111.5 E = ? 99%
7 個からなる標本の平均は 111.5、標準偏差は s = 1 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 7 x̄ = 111.5 s = 1 99% t(6) = 3.707
E =
6. 信頼区間 むずかしい
p = 0.5, n = ? p̂ − E p̂ + E p̂ E = 0.05 99%
不良品の割合について事前には何もわかっていません。 割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.05 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p = 0.5 E = 0.05 99%
n =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：30 個の部品の標本の平均長さは 54.5 mm で、ラインの既知の標準偏差は 14 mm です。ライン 2：40 個の部品の標本の平均は 62.8 mm、既知の標準偏差は 16 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
n₁ = 30 x̄₁ = 54.5 mm σ₁ = 14 mm n₂ = 40 x̄₂ = 62.8 mm σ₂ = 16 mm
z =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 50 対 H₁: μ < 50 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 15 であることがわかっています。実際の平均は 46.4 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 50 μ = 46.4 σ = 15 n = 25 α = 0.10
β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNT = 11
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 65/300 = 0.2167
CER = 78/250 = 0.312
治療必要数（NNT） ARR = 0.312 − 0.2167 = 0.09533
NNT = 1/0.09533 = 10.49 → 11
11 人の患者を治療すると、イベントが約1件防げます。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 28.5 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
尤度比 LR+ = 0.68/(1 − 0.81) = 3.579
検査後確率 p′ = 0.3977/(1 + 0.3977) = 0.2845 ≈ 28.5%
3. 記述統計
答え: s = 14
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−5.286)² + 0.7143² + (−1.286)² + 5.714² + (−2.286)² + (−22.29)² + 24.71² = 1175
4. 記述統計
答え: P = 0.9332
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
5. 信頼区間
答え: E = 1.401
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 6, t = 3.707
6. 信頼区間
答え: n = 664
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く n = 2.576²·0.5·0.5/0.05² = 663.6
7. 仮説検定と信頼区間
答え: z = −2.308
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差の標準誤差 SE = √(14²/30 + 16²/40) = √12.93 = 3.596
検定統計量 z = (54.5 − 62.8)/3.596 = −2.308
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: β = 53.27 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 15/√25 = 3
x̄c = 50 − 1.282·3 = 46.15
真の平均のもとでの z z = (46.15 − 46.4)/3 = −0.082
第 2 種の誤り 検出力 = P(Z < −0.082) = 46.73%
β = 100% − 46.73% = 53.27%