エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）
NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
Se71%Sp91%LR− = ?

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある検査の感度は 71%、特異度は 91% です。 陰性尤度比 LR− を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

Se = 71%Sp = 91%
LR− =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
CER12%EER?RRR 33%

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある治療は、イベントのリスクを相対的に 33% 減らします（RRR = 33%）。ある患者群では、治療しない場合のリスク（CER）は5年間で 12% です。5年間でイベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。

RRR = 33%CER = 12%
NNT =
3.記述統計ふつう
1520253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい：54, 40, 24, 11, 12。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 8 の正規分布に従います。174.8 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 8x = 174.8
P =
5.信頼区間ふつう
n = 16, s = 19.5LU = ?x̄ = 42.5E90%

16 個からなる標本の平均は 42.5、標準偏差は s = 19.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 16x̄ = 42.5s = 19.590%t(15) = 1.753
上限 =
6.信頼区間むずかしい
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

母標準偏差は 15 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 15E = 390%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−1.961.96z = ?

2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：50 個の部品の標本の平均長さは 69.5 mm で、ラインの既知の標準偏差は 17 mm です。ライン 2：50 個の部品の標本の平均は 76.5 mm、既知の標準偏差は 13 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。

n₁ = 50x̄₁ = 69.5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 50x̄₂ = 76.5 mmσ₂ = 13 mm
z =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.9601.96

36 回の測定の標本平均は 495 です。母標準偏差は 20 です。平均の 95% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 495σ = 20n = 3695%
U =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: LR− = 0.32

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

陰性尤度比

LR− = (1 − 0.71)/0.91 = 0.3187 ≈ 0.32

答え

LR− = 0.32
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NNT = 26

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

絶対リスク減少

ARR = 0.12·0.33 = 0.0396

治療必要数（NNT）

NNT = 1/0.0396 = 25.25 → 26

答え

NNT = 26

同じ相対効果でも、ベースラインのリスクが高いほど NNT は小さくなります。

3.記述統計

答え: s = 18.58

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 141/5 = 28.2

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 25.8² + 11.8² + (−4.2)² + (−17.2)² + (−16.2)² = 1381

標準偏差

s = √(1381/4) = 18.58

答え

s = 18.58
4.記述統計

答え: P = 0.2743

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答え

P = 0.2743
5.信頼区間

答え: 上限 = 51.05

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 15, t = 1.753

誤差の幅

E = 1.753·19.5/√16 = 8.546

区間

42.5 ± 8.546 → [33.95, 51.05]

答え

上限 = 51.05
6.信頼区間

答え: n = 68

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·15/3)² = 67.65

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 68

答え

n = 68
7.仮説検定と信頼区間

答え: z = −2.313

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差の標準誤差

SE = √(17²/50 + 13²/50) = √9.16 = 3.027

検定統計量

z = (69.5 − 76.5)/3.027 = −2.313

答え

z = −2.313

|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: U = 501.5

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 1.96·20/√36 = 6.533

区間の端

U = 495 + 6.533 = 501.5

答え

U = 501.5

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