エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度: Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値: PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度: (a + d)/n
尤度比: LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV: Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ: オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）: NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比: OR = ad/(bc)
罹患率: 新規症例 / 人時

解き方

計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。ランダム化比較試験で、560 人の患者が新しい治療を、490 人が対照の治療を受けました。表は、各群でアウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント）があった人数を示しています。イベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。患者数の整数に切り上げます。

治療: 94/560対照: 118/490

NNT =

2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 98%、特異度 96% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 6% です。検査で見逃される疾患のある人（偽陰性、FN）は何人ですか。

N = 10 000p = 6%Se = 98%Sp = 96%

FN =

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：11, 34, 36, 52, 37。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。58 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 8x = 58

P =

5.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：60 台、平均 77 h、既知の標準偏差 10 h。機種 2：60 台、平均 67.5 h、既知の標準偏差 19 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 60x̄₁ = 77 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 67.5 hσ₂ = 19 h95%

E = h

6.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 16 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 16E = 499%

n =

7.仮説検定と信頼区間ふつう

2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：50 個の部品の標本の平均長さは 135 mm で、ラインの既知の標準偏差は 8 mm です。ライン 2：100 個の部品の標本の平均は 133 mm、既知の標準偏差は 7 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。

n₁ = 50x̄₁ = 135 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 100x̄₂ = 133 mmσ₂ = 7 mm

z =

8.仮説検定と信頼区間むずかしい

25 回の測定の標本平均は 498.8 です。母標準偏差は 10 です。平均の 90% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 498.8σ = 10n = 2590%

L =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NNT = 14

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 94/560 = 0.1679

CER = 118/490 = 0.2408

治療必要数（NNT）

ARR = 0.2408 − 0.1679 = 0.07296

NNT = 1/0.07296 = 13.71 → 14

答え

NNT = 14

14 人の患者を治療すると、イベントが約1件防げます。

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: FN = 12

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

疾患のある人とない人

10 000·0.06 = 600

10 000 − 600 = 9400

偽陰性

FN = 600·0.02 = 12

答え

FN = 12

3.記述統計

答え: s = 14.71

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 170/5 = 34

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−23)² + 0² + 2² + 18² + 3² = 866

標準偏差

s = √(866/4) = 14.71

答え

s = 14.71

4.記述統計

答え: P = 0.9332

標準化する

z = −1.5

標準正規分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

答え

P = 0.9332

5.信頼区間

答え: E = 5.433 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 77 − 67.5 = 9.5

標準誤差

SE = √(10²/60 + 19²/60) = 2.772

誤差の幅

E = 1.96·2.772 = 5.433

答え

E = 5.433 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

6.信頼区間

答え: n = 107

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·16/4)² = 106.2

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 107

答え

n = 107

7.仮説検定と信頼区間

答え: z = 1.503

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差の標準誤差

SE = √(8²/50 + 7²/100) = √1.77 = 1.33

検定統計量

z = (135 − 133)/1.33 = 1.503

答え

z = 1.503

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: L = 495.5

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 1.645·10/√25 = 3.29

区間の端

L = 498.8 − 3.29 = 495.5

答え

L = 495.5

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