1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
症例 対照 曝露あり 86 66 a b 曝露なし 144 44 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 症例対照研究で、疾患のある患者 230 人（症例）と疾患のない 110 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 86 b = 66 c = 144 d = 44
OR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 ? 負 合計 10 000
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 99%、特異度 95% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 3% です。 陽性の結果 n₊ は合計で何件と予想されますか。
N = 10 000 p = 3% Se = 99% Sp = 95%
n₊ =
3. 記述統計 ふつう
20 25 30 35 40
データの標本標準偏差 s を求めなさい：42, 39, 27, 40, 42, 17, 29。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 25 の正規分布に従います。487.5 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500 σ = 25 x = 487.5
z =
5. 信頼区間 ふつう
n = 13, s = 6.5 L U x̄ = 12 E = ? 95%
13 個からなる標本の平均は 12、標準偏差は s = 6.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 13 x̄ = 12 s = 6.5 95% t(12) = 2.179
E =
6. 信頼区間 むずかしい
p ≈ 0.1, n = ? p̂ − E p̂ + E p̂ E = 0.05 90%
予備調査によると、製品の約 0.1 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.05 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.1 E = 0.05 90%
n =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：5 人の学生、平均点 60、標準偏差 8。グループ 2：11 人の学生、平均点 70.8、標準偏差 8.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 5 x̄₁ = 60 s₁ = 8 n₂ = 11 x̄₂ = 70.8 s₂ = 8.5
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 3 であることがわかっています。実際の平均は 501.9 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500 μ = 501.9 σ = 3 n = 36 α = 0.01
1 − β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 0.4
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ 症例: 86/144 = 0.5972
対照: 66/44 = 1.5
オッズ比 OR = (86·44)/(66·144) = 0.3981 ≈ 0.4
OR が1より小さい：曝露は症例のほうに少なく、防御的な効果を示唆します。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: n₊ = 782
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人 10 000·0.03 = 300
10 000 − 300 = 9700
すべての陽性の結果 TP = 300·0.99 = 297
FP = 9700·0.05 = 485
n₊ = 297 + 485 = 782
782 件の陽性のうち、疾患があるのは 297 件だけです（PPV 38%）。
3. 記述統計
答え: s = 9.587
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 8.286² + 5.286² + (−6.714)² + 6.286² + 8.286² + (−16.71)² + (−4.714)² = 551.4
4. 記述統計
答え: z = −0.5
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する z = (487.5 − 500)/25 = −0.5
5. 信頼区間
答え: E = 3.928
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 12, t = 2.179
誤差の幅 E = 2.179·6.5/√13 = 3.928
6. 信頼区間
答え: n = 98
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く n = 1.645²·0.1·0.9/0.05² = 97.42
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.395
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散 sp ² = (4·8² + 10·8.5²)/14 = 69.89
sp = 8.36
標準誤差 SE = 8.36·√(1/5 + 1/11) = 4.509
検定統計量 t = (60 − 70.8)/4.509 = −2.395
df = 14 のとき、両側 5% の臨界値は 2.145 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 92.98 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 3/√36 = 0.5
x̄c = 500 + 2.326·0.5 = 501.2
真の平均のもとでの z z = (501.2 − 501.9)/0.5 = −1.474
電力 検出力 = P(Z > −1.474) = 92.98%
1 − β = 92.98%