1公式と解法
エビデンスに基づく実践の統計
- 感度と特異度
- Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
- 予測値
- PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
- 精度
- (a + d)/n
- 尤度比
- LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
- 有病率 p での PPV
- Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
- オッズ
- オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
- リスク指標
- RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
- 治療必要数（NNT）
- NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
- オッズ比
- OR = ad/(bc)
- 罹患率
- 新規症例 / 人時
解き方
- 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
- 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
- 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
- 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
- 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。
記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
2演習問題
1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 コホート研究で、曝露群は 4900 人年で 29 件の新規症例、非曝露群は 2700 人年で 8 件の新規症例でした。罹患率比 IRR（曝露群対非曝露群）を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
曝露あり: 29/4900 PY曝露なし: 8/2700 PY
IRR =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 75%、特異度 76% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 22% です。 偽陽性の結果 FP は何件と予想されますか。
N = 10 000p = 22%Se = 75%Sp = 76%
FP =
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：25, 47, 41, 28, 28, 53, 27。
n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。66.25 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60σ = 5x = 66.25
P =
5.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：30 台、平均 118 h、既知の標準偏差 11 h。機種 2：100 台、平均 115.5 h、既知の標準偏差 6 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 30x̄₁ = 118 hσ₁ = 11 hn₂ = 100x̄₂ = 115.5 hσ₂ = 6 h90%
上限 = h
6.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：16 区画、平均収量 86.5 kg、標準偏差 3 kg。区画群 2：6 区画、平均 83 kg、標準偏差 2 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 16x̄₁ = 86.5s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 83s₂ = 299%t(20) = 2.845
上限 = kg
7.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 497、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 497s = 8n = 49
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 150 人中 68 人、治療 B の患者 200 人中 104 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 68n₁ = 150x₂ = 104n₂ = 200
z =
3溶液
1.エビデンスに基づく実践の統計
答え: IRR = 2
尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
罹患率
曝露あり: 29/4900 = 5.918 1000人年あたり
曝露なし: 8/2700 = 2.963 1000人年あたり
率比
IRR = 5.918/2.963 = 1.997 ≈ 2
2.エビデンスに基づく実践の統計
答え: FP = 1872
予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人
10 000·0.22 = 2200
10 000 − 2200 = 7800
3522 件の陽性のうち、疾患があるのは 1650 件だけです（PPV 46.8%）。
3.記述統計
答え: s = 11.28
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−10.57)² + 11.43² + 5.429² + (−7.571)² + (−7.571)² + 17.43² + (−8.571)² = 763.7
4.記述統計
答え: P = 0.8944
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944
5.信頼区間
答え: 上限 = 5.948 h
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 118 − 115.5 = 2.5
標準誤差
SE = √(11²/30 + 6²/100) = 2.096
区間
2.5 ± 3.448 → [−0.948, 5.948]
区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。
6.信頼区間
答え: 上限 = 7.291 kg
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
プールした標準偏差
sp² = (15·3² + 5·2²)/20 = 7.75
sp = 2.784
誤差の幅
E = 2.845·2.784·√(1/16 + 1/6) = 3.791
区間
3.5 ± 3.791 → [−0.2915, 7.291]
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.625
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
検定統計量
t = (497 − 500)/1.143 = −2.625
t = −2.625
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8.仮説検定と信頼区間
答え: z = −1.235
仮説検定：検定統計量 =（推定値 − H₀ のもとでの値）/（H₀ のもとでの標準誤差）。p 値は、H₀ が正しいと仮定したとき、観測されたもの以上に極端な統計量が得られる確率です：片側の H₁ では片側の裾の面積、両側の H₁ では裾の面積の 2 倍です。p ≤ α なら H₀ を棄却します。
標本比率
p̂₁ = 68/150 = 0.4533
p̂₂ = 104/200 = 0.52
p̂ = 172/350 = 0.4914
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.4914·0.5086·(1/150 + 1/200)) = 0.054
検定統計量
z = (0.4533 − 0.52)/0.054 = −1.235
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。