エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度: Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値: PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度: (a + d)/n
尤度比: LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV: Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ: オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）: NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比: OR = ad/(bc)
罹患率: 新規症例 / 人時

解き方

計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。症例対照研究で、疾患のある患者 310 人（症例）と疾患のない 450 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。小数第 2 位まで四捨五入してください。

a = 99b = 243c = 211d = 207

OR =

2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 86%、特異度 77% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 4% です。真陽性の結果 TP は何件と予想されますか。

N = 10 000p = 4%Se = 86%Sp = 77%

TP =

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：24, 59, 49, 11, 34, 20, 51。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 10 の正規分布に従います。162 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 10x = 162

P =

5.信頼区間ふつう

10 個からなる標本の平均は 38、標準偏差は s = 10 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 10x̄ = 38s = 1099%t(9) = 3.25

下限 =

6.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 6 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 6E = 0.599%

n =

7.仮説検定と信頼区間ふつう

2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：100 個の部品の標本の平均長さは 129 mm で、ラインの既知の標準偏差は 6 mm です。ライン 2：80 個の部品の標本の平均は 130 mm、既知の標準偏差は 10 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。

n₁ = 100x̄₁ = 129 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 80x̄₂ = 130 mmσ₂ = 10 mm

z =

8.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 12 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 12E = 2.595%

n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: OR = 0.4

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

曝露のオッズ

症例: 99/211 = 0.4692

対照: 243/207 = 1.174

オッズ比

OR = (99·207)/(243·211) = 0.3997 ≈ 0.4

答え

OR = 0.4

OR が1より小さい：曝露は症例のほうに少なく、防御的な効果を示唆します。

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: TP = 344

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

疾患のある人とない人

10 000·0.04 = 400

10 000 − 400 = 9600

真陽性

TP = 400·0.86 = 344

答え

TP = 344

3.記述統計

答え: s = 18.03

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 248/7 = 35.43

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−11.43)² + 23.57² + 13.57² + (−24.43)² + (−1.429)² + (−15.43)² + 15.57² = 1950

標準偏差

s = √(1950/6) = 18.03

答え

s = 18.03

4.記述統計

答え: P = 0.2119

標準化する

z = −0.8

標準正規分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

答え

P = 0.2119

5.信頼区間

答え: 下限 = 27.72

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 9, t = 3.25

誤差の幅

E = 3.25·10/√10 = 10.28

区間

38 ± 10.28 → [27.72, 48.28]

答え

下限 = 27.72

6.信頼区間

答え: n = 956

n について解く

n = (2.576·6/0.5)² = 955.6

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 956

答え

n = 956

7.仮説検定と信頼区間

答え: z = −0.7881

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差の標準誤差

SE = √(6²/100 + 10²/80) = √1.61 = 1.269

検定統計量

z = (129 − 130)/1.269 = −0.7881

答え

z = −0.7881

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 89

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

n について解く

n = (1.96·12/2.5)² = 88.51

切り上げる

n = 89

答え

n = 89

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