エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療48752800ab対照1208801000cd

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ランダム化比較試験で、800 人の患者が新しい治療を、1000 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム(脳卒中などの望ましくないイベント) があった人数を示しています。 絶対リスク減少 ARR を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

治療: 48/800対照: 120/1000
ARR = %
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
p (%)PPV (%)0.5%PPV = ?100

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 あるスクリーニング検査の感度は 86%、特異度は 86% です。有病率が 0.5% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 86%Sp = 86%p = 0.5%
PPV = %
3.記述統計ふつう
10152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい:10, 48, 37, 59, 49, 55, 21。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 60、標準偏差 10 の正規分布に従います。48 より大きい値の割合 P はいくつですか?

μ = 60σ = 10x = 48
P =
5.信頼区間ふつう
n = 9, sd​ = 6.70L = ?Ud̄ = 2.9E99%

9 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後(mmHg)の平均は 2.9、標準偏差は 6.7 です。 差の平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 9d̄ = 2.9sd = 6.799%t(8) = 3.355
下限 = mmHg
6.信頼区間むずかしい
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

母標準偏差は 20 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか?

σ = 20E = 190%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.1792.179t = ?df = 12

2 つの指導法を比べます。グループ 1:9 人の学生、平均点 75.5、標準偏差 4.5。グループ 2:5 人の学生、平均点 68.5、標準偏差 12。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂(グループ 1 − グループ 2)として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 9x̄₁ = 75.5s₁ = 4.5n₂ = 5x̄₂ = 68.5s₂ = 12
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −2.57602.576

100 回の測定の標本平均は 100.4 です。母標準偏差は 4 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 100.4σ = 4n = 10099%
U =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: ARR = 6 %

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 48/800 = 0.06
CER = 120/1000 = 0.12

絶対リスク減少

ARR = 0.12 − 0.06 = 0.06 = 6%

答え

ARR = 6%
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: PPV = 3 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

真陽性と偽陽性(1人あたり)

Se·p = 0.86·0.005 = 0.0043
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.14·0.995 = 0.1393

陽性的中率

PPV = 0.0043/(0.0043 + 0.1393) = 0.02994 ≈ 3%

答え

PPV = 3%

同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。

3.記述統計

答え: s = 18.26

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 279/7 = 39.86

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−29.86)² + 8.143² + (−2.857)² + 19.14² + 9.143² + 15.14² + (−18.86)² = 2001

標準偏差

s = √(2001/6) = 18.26

答え

s = 18.26
4.記述統計

答え: P = 0.8849

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −1.2

標準正規分布表

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答え

P = 0.8849
5.信頼区間

答え: 下限 = −4.593 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 8, t = 3.355

誤差の幅

E = 3.355·6.7/√9 = 7.493

区間

2.9 ± 7.493 → [−4.593, 10.39]

答え

下限 = −4.593 mmHg
6.信頼区間

答え: n = 1083

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·20/1)² = 1082

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 1083

答え

n = 1083
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.6

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

sp² = (8·4.5² + 4·12²)/12 = 61.5
sp = 7.842

標準誤差

SE = 7.842·√(1/9 + 1/5) = 4.374

検定統計量

t = (75.5 − 68.5)/4.374 = 1.6

答え

t = 1.6

df = 12 のとき、両側 5% の臨界値は 2.179 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: U = 101.4

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

誤差の幅

E = 2.576·4/√100 = 1.03

区間の端

U = 100.4 + 1.03 = 101.4

答え

U = 101.4

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