1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
症例 人年 曝露あり 150 4000 曝露なし 85 3400
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 コホート研究で、曝露群は 4000 人年で 150 件の新規症例、非曝露群は 3400 人年で 85 件の新規症例でした。罹患率比 IRR （曝露群対非曝露群）を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
曝露あり: 150/4000 PY 曝露なし: 85/3400 PY
IRR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 負 ? 合計 10 000
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 71%、特異度 79% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 6% です。 検査で見逃される疾患のある人（偽陰性、FN ）は何人ですか。
N = 10 000 p = 6% Se = 71% Sp = 79%
FN =
3. 記述統計 ふつう
20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：17, 56, 42, 29, 47, 29, 42。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。164 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 170 σ = 5 x = 164
z =
5. 信頼区間 ふつう
n = 6, s = 7.5 L = ? U x̄ = 108.5 E 90%
6 個からなる標本の平均は 108.5、標準偏差は s = 7.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 6 x̄ = 108.5 s = 7.5 90% t(5) = 2.015
下限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 20 σ = ? U s = 0.6 95%
機械加工した 20 本の軸の直径の標本標準偏差は 0.6 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 19 のとき、χ² 分布の 2.5% は 8.907 より下に、2.5% は 32.852 より上にあります。
n = 20 s = 0.6 µm χ² = 8.907, 32.852
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：6 人の学生、平均点 98、標準偏差 11。グループ 2：20 人の学生、平均点 106.7、標準偏差 9.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 6 x̄₁ = 98 s₁ = 11 n₂ = 20 x̄₂ = 106.7 s₂ = 9.5
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 200 対 H₁: μ > 200 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 64 で行います。標準偏差は 12 であることがわかっています。実際の平均は 204.2 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 200 μ = 204.2 σ = 12 n = 64 α = 0.01
β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: IRR = 1.5
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
罹患率 曝露あり: 150/4000 = 37.5 1000人年あたり
曝露なし: 85/3400 = 25 1000人年あたり
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: FN = 174
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人 10 000·0.06 = 600
10 000 − 600 = 9400
3. 記述統計
答え: s = 13.15
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−20.43)² + 18.57² + 4.571² + (−8.429)² + 9.571² + (−8.429)² + 4.571² = 1038
4. 記述統計
答え: z = −1.2
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: 下限 = 102.3
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 5, t = 2.015
区間 108.5 ± 6.17 → [102.3, 114.7]
6. 信頼区間
答え: σ = 0.4563 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 19·0.6² = 6.84
σ² の限界 6.84/32.852 = 0.2082
6.84/8.907 = 0.7679
σ の 95% 区間：[0.4563, 0.8763] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.901
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散 sp ² = (5·11² + 19·9.5²)/24 = 96.66
sp = 9.831
標準誤差 SE = 9.831·√(1/6 + 1/20) = 4.576
検定統計量 t = (98 − 106.7)/4.576 = −1.901
df = 24 のとき、両側 5% の臨界値は 2.064 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: β = 31.77 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 200 + 2.326·1.5 = 203.5
真の平均のもとでの z z = (203.5 − 204.2)/1.5 = −0.474
第 2 種の誤り 検出力 = P(Z > −0.474) = 68.23%
β = 100% − 68.23% = 31.77%