FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値
FV = PV·(1 + i)n
現在価値
PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間
i = r/m, N = m·n
年金現価
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金終価
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

解き方

  1. すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
  2. 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
  3. 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
  4. 答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
均等なキャッシュフロー
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部収益率
NPV = 0 となる r
判断
NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

  1. すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
  2. 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
  3. それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
  4. IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 20 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​1.5 m2 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP1 = 20 kN 位置 1.5 mP2 = 45 kN 位置 3.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​RB​ = ?4 m1 m3 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 8 mP = 45 kN 位置 4 mw = 8 kN/m（4 から 5 m まで）
RB = kN
3.トラス：節点法ふつう
ABCDEFGH25 kN30 kN30 kN4 × 3 m4 m

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。

C: 25 kN ↓D: 30 kN ↓G: 30 kN ↓
  1. 1部材 AB
  2. 2部材 BC
  3. 3部材 CD
  4. 4部材 DE
  5. 5部材 FG
  6. 6部材 GH
  7. 7部材 AF
  8. 8部材 HE
  9. 9部材 BF
  10. 10部材 CG
  11. 11部材 DH
  12. 12部材 FC
  13. 13部材 HC
4.トラス：節点法むずかしい
ABCDEFGH10 kN10 kN30 kN30 kN30 kN4 × 3 m4 m

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。

B: 10 kN ↓C: 10 kN ↓F: 30 kN →G: 30 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1部材 AB
  2. 2部材 BC
  3. 3部材 CD
  4. 4部材 DE
  5. 5部材 FG
  6. 6部材 GH
  7. 7部材 AF
  8. 8部材 HE
  9. 9部材 BF
  10. 10部材 CG
  11. 11部材 DH
  12. 12部材 FC
  13. 13部材 HC
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 5 kN/mAB断面3 m1 m

支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mw = 5 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mP = 10 kNAB断面2.5 m1.5 m

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 10 kN 位置 2.5 mw = 10 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mδL = 6 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 20 kN/mδL = 5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 m30 × 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 135 kNL = 5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 135 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 135 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 90d = 62寸法の単位：mm

円管の外径は D = 90 mm、内径は d = 62 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 90 mmd = 62 mm
r = mm
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm150 mm52.5 mm80 × 30xIx​ = ?

120 mm × 150 mm の板に、幅 80 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 52.5 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 150 mm切り欠き: 80 × 30 mm穴の中心: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 16 kN/m³γsat​ = 19.5 kN/m³12 m地下水位Xz = 12 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 12 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 19 kN/m³5 m粘土γsat​ = 18 kN/m³6 m地下水位Xz = 8 m

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 8 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³粘土: γsat = 18 kN/m³
u = kPa
15.圧密沈下ふつう
Δσ = 150 kPa砂粘土Cc​ = 0.5, Cr​ = 0.03e0​ = 0.85σ′0​ = 100 kPaσ′p​ = 210 kPa2 m地下水位

厚さ 2 m の過圧密粘土層の Cc = 0.5、Cr = 0.03、e₀ = 0.85 である。中央深さでの有効鉛直応力は 100 kPa であり、 圧密降伏応力は 210 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 150 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 2 mCc = 0.5Cr = 0.03e0 = 0.85σ′0 = 100 kPaσ′p = 210 kPaΔσ = 150 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 3 mcv​ = 0.5 m²/年度3 m砂地下水位

厚さ 3 m の粘土層の圧密係数は cv = 0.5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。 平均圧密度 90% に対する時間係数は Tv = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 3 mcv = 0.5 m²/年度U = 90%Tv = 0.848両面排水
t = 年
17.静水圧ふつう
ゲートd = 1.5 mH = 2.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
ゲートd = 3 mH = 1 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 2.3 m/sD = 50 mmL = 200 mf = 0.025

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 200 m、内径 50 mm の水平管内を 2.3 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.3 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 2Δz = 22 mL = 150 m, D = 100 mm, f = 0.022× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 22 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 22 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
b = 2.5 my = 2.2 mn = 0.014, S = 0.001

長方形の仕上げのないコンクリートの水路の幅は 2.5 m である。水は水深 2.2 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2.5 my = 2.2 mn = 0.014S = 0.001
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 1 my = 0.7 m1 : 1n = 0.012, Q = 2.1 m³/s

底幅 1 m、側面勾配 1:1（水平:鉛直）の台形の仕上げたコンクリートの水路は、 水深 0.7 m の等流で 2.1 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.012。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 2.1 m³/sb = 1 my = 0.7 mz = 1n = 0.012
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 100 L/sH = 70 m

ポンプが揚程 70 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送っている。ポンプ効率は 78%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 100 L/sH = 70 mηpump = 78%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
300 kPa (ゲージ圧)PQ = 20 L/sΔz = 5 mL = 100 m, D = 100 mm, f = 0.025, ΣK = 2.5

ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 2.5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 300 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.025ΣK = 2.5ptank = 300 kPa
H = m
25.貨幣の時間価値ふつう
年01234€3 000FV = ?

名目年利 4.8%、四半期複利で €3 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €3 0004.8% / 4n = 4
FV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
か月0123…84€25 000AAAA5.4% / 12, I = ?

€25 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 7 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €25 0005.4% / 12N = 84
I = €
27.NPV と IRRふつう
年01234−30 00011 00013 00012 00010 000

€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €13 000, €12 000, €10 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 6%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 13 000CF3 = 12 000CF4 = 10 000
NPV = €
28.NPV と IRRむずかしい
r (%)NPVABr* = ?0

プロジェクト A の費用は €30 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €17 000, €11 000, €6 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €35 000 で、€9 500, €13 500, €18 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −30 000, 17 000, 11 000, 6 500B: −35 000, 9 500, 13 500, 18 500
r* = %
29.正規分布ふつう
−3−2−10123zz の右側の色つき面積 = 0.9750

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9750 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9750
z =
30.正規分布むずかしい
0.04 mm0D − d?

穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 33.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 20 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1.5 m2 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 20·1.5 + 45·3.5
RB = 187.5/6 = 31.25 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 31.25 = 33.75 kN

答え

RA = 33.75 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 27 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​RB​4 m1 m3 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN、作用点 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·4 + 8·1·4.5
RB = 216/8 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 53 − 27 = 26 kN

答え

RB = 27 kN
3.トラス：節点法

答え: 部材 BF

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 B

AB と BC は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、BF だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 26.25 kN (T), BC: 26.25 kN (T), CD: 37.5 kN (T), DE: 37.5 kN (T), FG: 52.5 kN (C), GH: 52.5 kN (C), AF: 43.75 kN (C), HE: 62.5 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 43.75 kN (T), HC: 25 kN (T)

答え

ゼロ部材: BF
4.トラス：節点法

答え: 部材 DH

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 D

CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 48.75 kN (T), BC: 48.75 kN (T), CD: 41.25 kN (T), DE: 41.25 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 31.25 kN (C), HE: 68.75 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 18.75 kN (T), HC: 31.25 kN (T)

答え

ゼロ部材: DH
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 7.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·4·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10断面3 m1 m

x = 3 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 10·3 − 5·3·1.5 = 7.5 kN·m

答え

Mx = 7.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 28.13 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2.5 + 10·4·2
RB = 105/4 = 26.25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 26.25 = 23.75 kN
w = 10 kN/mP = 10 kNABRA​ = 23.75RB​ = 26.25断面2.5 m1.5 m

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 23.75·2.5 − 10·2.5·1.25 = 28.13 kN·m

答え

Mx = 28.13 kN·m
7.はりのたわみ

答え: δmax = 17.22 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 6000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 17.22 mm

答え

δmax = 17.22 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 58.59 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·5000⁴/(384·200000·13.89) = 5.859 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 58.59 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 58.59 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 241.7 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1050² = 241705 N = 241.7 kN

答え

Pcr = 241.7 kN
10.柱の座屈

答え: d = 101.1 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·135000 = 405000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 101.1 mm

答え

d = 101.1 mm

確認：細長比 KL/r は 197.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: r = 27.32 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 3343 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2.495 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(2.495 × 10⁶/3343) = 27.32 mm

答え

r = 27.32 mm
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 32.17 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (18000·75 − 2400·52.5)/(18000 − 2400) = 78.46 mm

ȳ まわりの全体の板

120·150³/12 + 18000·−3.462² = 33.97 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

80·30³/12 + 2400·−25.96² = 1.798 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 32.17 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 32.17 × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 128.9 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·2 + 19.5·10 = 227 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·10 = 98.1 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 227 − 98.1 = 128.9 kPa

答え

σ′ = 128.9 kPa
14.地盤の有効応力

答え: u = 68.67 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·7 = 68.67 kPa

答え

u = 68.67 kPa
15.圧密沈下

答え: S = 51.38 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 100 + 150 = 250 kPa > 210 kPa

沈下量

σ′p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.03·2/(1 + 0.85)·log₁₀(210/100) + 0.5·2/(1 + 0.85)·log₁₀(250/210)
S = 10.45 + 40.93 = 51.38 mm

答え

S = 51.38 mm
16.圧密沈下

答え: t = 3.816 年

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr = H/2 = 3/2 = 1.5 m

時間

t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·1.5²/0.5 = 3.816 年

答え

t = 3.816 年
17.静水圧

答え: F = 101.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
ゲートd = 1.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN

答え

F = 101.2 kN
18.静水圧

答え: F = 51.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
ゲートd = 3 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·1.5 = 51.5 kN

答え

F = 51.5 kN
19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 264.5 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(200/0.05)·2.3²/(2·9.81) = 26.96 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·26.96 = 264500 Pa = 264.5 kPa

答え

Δp = 264.5 kPa
20.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 27.94 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.02·150/0.1 = 30
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

22 = (30 + 4.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·22/34.1) = 3.558 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.558·0.007854 = 0.02794 m³/s = 27.94 L/s

答え

Q = 27.94 L/s
21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 10.68 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 2.5·2.2 = 5.5 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·2.2 = 6.9 m
R = A/P = 0.7971 m

速度

V = (1/0.014)·0.79712/3·0.0011/2 = 1.942 m/s

流量

Q = A·V = 5.5·1.942 = 10.68 m³/s

答え

Q = 10.68 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001525 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·0.7)·0.7 = 1.19 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0.7·√(1 + 1²) = 2.98 m
R = A/P = 0.3993 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·2.1/(1.19·0.5423) = 0.03905
S = 0.03905² = 0.001525

答え

S = 0.001525

これは 1 km あたり 1.525 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 100 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·70 = 68.67 kW

軸動力

Pshaft = 68.67/0.78 = 88.04 kW

電力

Pel = 88.04/0.88 = 100 kW

答え

Pel = 100 kW
24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 44.67 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 2.5)·0.3305 = 9.089 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 30.58 + 9.089 = 44.67 m

答え

H = 44.67 m
25.貨幣の時間価値

答え: FV = 3631 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·4 = 16

将来価値

FV = 3 000·(1 + 0.012)16 = 3 000·1.21 = €3 630.86

答え

FV = €3 630.86
26.貨幣の時間価値

答え: I = 5078 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

毎月の返済額

i = 0.0045, N = 84
A = 25 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−84) = €358.07

利息の総額

I = N·A − P = 84·358.1 − 25 000 = €5 077.51

答え

I = €5 077.51
27.NPV と IRR

答え: NPV = 9944 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 11 000/1.06 = 10 377.36
CF2/(1 + 0.06)2 = 13 000/1.124 = 11 569.95
CF3/(1 + 0.06)3 = 12 000/1.191 = 10 075.43
CF4/(1 + 0.06)4 = 10 000/1.262 = 7 920.94

合計する

NPV = €9 943.68

答え

NPV = €9 943.68

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: r* = 6.88 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 500 − 17 000 = −7 500
ΔCF2 = 13 500 − 11 000 = 2 500
ΔCF3 = 18 500 − 6 500 = 12 000

差の IRR

NPVΔ(6%) = 224.95
NPVΔ(7%) = −30.17
r* = 6.88%

答え

r* = 6.88%

確認：6.88% では両方の NPV が €859.13 です。

29.正規分布

答え: z = −1.96

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.9750 = 0.0250

z 表を逆に読む

表の中で 0.0250 を見つけ、z を読み取ります。

z = −1.96

答え

z = −1.96
30.正規分布

答え: P = 0.9633

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

標準化する

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

確率

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

答え

P = 0.9633

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil