FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 10 mP₁ = 55 kN 位置 2 mP₂ = 20 kN 位置 8 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 6 mP = 10 kN 位置 4.5 mw = 12 kN/m（4 から 5 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 25 kN

F_BC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 60 kN水平荷重 = 15 kN →

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 5.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 5.5 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 6 mP = 45 kN 位置 4 mw = 10 kN/m（0 から 6 m まで）

M_max = kN·m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント I_req を求めよ。

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 105 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 105 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

溶接 I 形断面は、上フランジ 180 × 10 mm、高さ 320 mm・厚さ 8 mm のウェブ、下フランジ 300 × 16 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

上フランジ: 180 × 10 mmウェブ: 8 × 320 mm下フランジ: 300 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 10 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³粘土: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 3 m の過圧密粘土層の C_c = 0.45、C_r = 0.04、e₀ = 0.75 である。中央深さでの有効鉛直応力は 120 kPa であり、圧密降伏応力は 230 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 20 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 3 mC_c = 0.45C_r = 0.04e₀ = 0.75σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 230 kPaΔσ = 20 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 25 mm の粘土供試体が 8 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 8.5 m の層をなしている。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 25 mmt_lab = 8 minH = 8.5 m現場：片面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 500 m、内径 200 mm の管内を平均流速 0.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 0.9 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 60 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形のきれいな土の水路の幅は 4 m である。水は水深 0.7 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.022、水路床勾配は S = 0.004 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 4 my = 0.7 mn = 0.022S = 0.004

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 2.5 m の長方形の芝で覆われた土の水路は、水深 2.1 m の等流で 4.2 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 4.2 m³/sb = 2.5 my = 2.1 mn = 0.03

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 76 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 25 L/s 送っている。ポンプ効率は 70%、これを駆動する電動機の効率は 92% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 25 L/sH = 76 mη_pump = 70%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 21 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 300 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 4p_tank = 300 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4%、月複利で €20 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 0004% / 12n = 10

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€250 000 の住宅ローンを、年 7.2%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。16 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €250 0007.2% / 12N = 360k = 192

B = €

27.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €60 000、耐用年数は 9 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 6% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €60 000M = €5 000n = 9r = 6%

EAC = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €21 000, €20 000, €18 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 21 000CF₂ = 20 000CF₃ = 18 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0392 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.0392

z =

30.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 48 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·2 + 20·8

R_B = 270/10 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 27 = 48 kN

答え

R_A = 48 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 5.5 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN、作用点 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4.5 + 12·1·4.5

R_B = 99/6 = 16.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 16.5 = 5.5 kN

答え

R_A = 5.5 kN

3.トラス：節点法

答え: F_BC = −11.79 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 → C_y = 8.333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 8.333 = 16.67 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8.333/0.7071 = −11.79 kN

答え

F_BC = −11.79 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −60.61 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·5 + 15·3 → C_y = 57.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 57.5 = 2.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −57.5/0.9487 = −60.61 kN

答え

F_BC = −60.61 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 8.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

x = 5.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 18·5.5 − 6·5.5·2.75 = 8.25 kN·m

答え

M_x = 8.25 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 100 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·4 + 10·6·3

R_B = 360/6 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 60 = 45 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(4⁻) = R_A − w·4 = 5 kN

V(4⁺) = 5 − 45 = −40 kN

荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 45·4 − 10·4²/2 = 100 kN·m

答え

M_max = 100 kN·m

それは A から x = 4 m の位置に生じます。

7.はりのたわみ

答え: δ = 10.66 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 10.66 mm

答え

δ = 10.66 mm

8.はりのたわみ

答え: I_req = 6 × 10⁶ mm⁴

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·200000·11.11) = 6 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6 × 10⁶ mm⁴

答え

I_req = 6 × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈

答え: P_cr = 77.24 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77.24 kN

答え

P_cr = 77.24 kN

10.柱の座屈

答え: d = 121.3 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 121.3 mm

答え

d = 121.3 mm

確認：細長比 KL/r は 329.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 56.15 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232.5 mm

ウェブ: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·232.5 + 4400·110)/10400 = 180.7 mm

平行軸の定理

フランジ: 240·25³/12 + 6000·(232.5 − 180.7)² = 1.643 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 20·220³/12 + 4400·(110 − 180.7)² = 3.972 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.643 × 10⁷ + 3.972 × 10⁷ = 5.615 × 10⁷ mm⁴ = 56.15 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 56.15 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 178.1 × 10⁶ mm⁴

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 1800 mm², y = 341 mm

ウェブ: A = 2560 mm², y = 176 mm

下フランジ: A = 4800 mm², y = 8 mm

図心

ȳ = (1800·341 + 2560·176 + 4800·8)/9160 = 120.4 mm

平行軸の定理

上フランジ: 180·10³/12 + 1800·220.6² = 8.762 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 8·320³/12 + 2560·55.61² = 2.976 × 10⁷ mm⁴

下フランジ: 300·16³/12 + 4800·112.4² = 6.073 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.762 × 10⁷ + 2.976 × 10⁷ + 6.073 × 10⁷

I_x = 1.781 × 10⁸ mm⁴ = 178.1 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 178.1 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ = 186.5 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·1 + 19·9 = 186.5 kPa

答え

σ = 186.5 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 87.26 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 16.5·3 + 20·1 + 19·3 = 126.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 126.5 − 39.24 = 87.26 kPa

答え

σ′ = 87.26 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 4.591 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 120 + 20 = 140 kPa ≤ 230 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.04·3/(1 + 0.75)·log₁₀(140/120) = 4.591 mm

答え

S = 4.591 mm

16.圧密沈下

答え: t = 2569 日

排水距離

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 8.5 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 8·(8.5/0.0125)² = 3.699 × 10⁶ min

t_field = 3.699 × 10⁶/1440 = 2569 日

答え

t = 2569 日

17.静水圧

答え: F = 60.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

答え

F = 60.7 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 5.636 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5.5 + 3.375/(5.5·4.5) = 5.636 m

答え

y_cp = 5.636 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 2.58 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 0.9²/(2·9.81) = 0.04128 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.2)·0.9²/(2·9.81) = 2.58 m

答え

h_f = 2.58 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 5.782 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失係数

f·L/D = 0.018·300/0.2 = 27

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

全損失水頭

h_f = 27·0.1859 = 5.02 m

h_m = 4.1·0.1859 = 0.7622 m

Δz = h_f + h_m = 5.782 m

答え

Δz = 5.782 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 5.195 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 4·0.7 = 2.8 m²

P = b + 2y = 4 + 2·0.7 = 5.4 m

R = A/P = 0.5185 m

速度

V = (1/0.022)·0.5185^2/3·0.004^1/2 = 1.855 m/s

流量

Q = A·V = 2.8·1.855 = 5.195 m³/s

答え

Q = 5.195 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0007973 m/m

断面の形状

A = b·y = 2.5·2.1 = 5.25 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·2.1 = 6.7 m

R = A/P = 0.7836 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·4.2/(5.25·0.8499) = 0.02824

S = 0.02824² = 0.0007973

答え

S = 0.0007973

これは 1 km あたり 0.7973 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 28.94 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·76 = 18.64 kW

軸動力

P_shaft = 18.64/0.7 = 26.63 kW

電力

P_el = 26.63/0.92 = 28.94 kW

答え

P_el = 28.94 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 60.56 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 4)·0.408 = 8.977 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 21 + 30.58 + 8.977 = 60.56 m

答え

H = 60.56 m

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 29817 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·10 = 120

将来価値

FV = 20 000·(1 + 0.003333)¹²⁰ = 20 000·1.491 = €29 816.65

答え

FV = €29 816.65

26.貨幣の時間価値

答え: B = 179299 €

毎月の返済額

i = 0.006, N = 360

A = 250 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻³⁶⁰) = €1 696.97

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 360 − 192 = 168

B = 1697·(1 − (1 + 0.006)⁻¹⁶⁸)/0.006 = €179 299.36

答え

B = €179 299.36

27.NPV と IRR

答え: EAC = 13821 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.06⁻⁹)/0.06 = 6.802

年換算した購入価格

60 000/6.802 = 8 821.33

EAC

EAC = 8 821.33 + 5 000 = €13 821.33

答え

EAC = €13 821.33

28.NPV と IRR

答え: IRR = 22.94 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 1 805.56

NPV(25%) = −1 184.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·1 805.56/(1 805.56 − (−1 184.00)) = 23.02%

正確な値: NPV(22.94%) = 0 → IRR = 22.94%

答え

IRR = 22.94%

29.正規分布

答え: z = 1.76

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.0392 = 0.9608

z 表を逆に読む

表の中で 0.9608 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.76

答え

z = 1.76

30.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

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