FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値
FV = PV·(1 + i)n
現在価値
PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間
i = r/m, N = m·n
年金現価
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金終価
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

解き方

  1. すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
  2. 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
  3. 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
  4. 答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
均等なキャッシュフロー
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部収益率
NPV = 0 となる r
判断
NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

  1. すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
  2. 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
  3. それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
  4. IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 45 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​ = ?4 m4 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 10 mP1 = 45 kN 位置 4 mP2 = 35 kN 位置 8 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?3 m1.5 m0.5 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP = 35 kN 位置 4.5 mw = 8 kN/m（3 から 5 m まで）
RB = kN
3.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB60 kN4 m1 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 60 kN
FAC = kN
4.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB10 kN10 kN6 m4 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 10 kN →
FAC = kN
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 60 kNP2​ = 80 kNAB2 m2 m2 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 6 mP1 = 60 kN 位置 2 mP2 = 80 kN 位置 4 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 6 kN/mP = 25 kNAB断面2.5 m1.5 m

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 25 kN 位置 2.5 mw = 6 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.はりのたわみふつう
w = 5 kN/mδL = 3 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 1.5 kN/mABδ3.5 m

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 1.5 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2.5 md = 25 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 5 kNL = 5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 5 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 5 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.図心と断面二次モーメントふつう
200102008x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm200 mm80 mm50 × 40xIx​ = ?

100 mm × 200 mm の板に、幅 50 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 50 × 40 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 15 kN/m³γsat​ = 18.5 kN/m³7 m地下水位Xz = 7 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 7 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³
σ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³3 m粘土γsat​ = 18.5 kN/m³7 m地下水位Xz = 6.5 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 6.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³粘土: γsat = 18.5 kN/m³
σ = kPa
15.圧密沈下ふつう
Δσ = 200 kPa砂粘土Cc​ = 0.25, Cr​ = 0.04e0​ = 0.9σ′0​ = 40 kPaOCR = 27.5 m地下水位

厚さ 7.5 m の過圧密粘土層の Cc = 0.25、Cr = 0.04、e₀ = 0.9 である。中央深さでの有効鉛直応力は 40 kPa であり、 過圧密比は OCR = 2 である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 200 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7.5 mCc = 0.25Cr = 0.04e0 = 0.9σ′0 = 40 kPaOCR = 2Δσ = 200 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 3 mcv​ = 5 m²/年度3 m不透水性の岩盤地下水位

厚さ 3 m の粘土層の圧密係数は cv = 5 m²/年である。 不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。 平均圧密度 80% に対する時間係数は Tv = 0.567 である。この層が圧密度 80% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 3 mcv = 5 m²/年度U = 80%Tv = 0.567片面排水
t = 年
17.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 3 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
ゲートd = 3 mH = 1.5 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1.4 m/sD = 150 mmL = 50 mf = 0.018

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 50 m、内径 150 mm の水平管内を 1.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.4 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5Δz = ?L = 150 m, D = 200 mm, f = 0.0224× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 50 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
b = 1 my = 1.8 m1 : 1n = 0.012, S = 0.001

台形の仕上げたコンクリートの水路の底幅は 1 m、側面勾配は 1:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.8 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.012、水路床勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 1 my = 1.8 mz = 1n = 0.012S = 0.001
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 5.5 my = 1.2 m1 : 1n = 0.03, Q = 7.1 m³/s

底幅 5.5 m、側面勾配 1:1（水平:鉛直）の台形の芝で覆われた土の水路は、 水深 1.2 m の等流で 7.1 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 7.1 m³/sb = 5.5 my = 1.2 mz = 1n = 0.03
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 40 L/sH = 36 m

試験で、ポンプが揚程 36 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送り、そのとき軸動力は 21.7 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 40 L/sH = 36 mPshaft = 21.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 10 L/sΔz = 5 mL = 100 m, D = 100 mm, f = 0.018, ΣK = 6

ポンプが 10 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 10 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 6
H = m
25.貨幣の時間価値ふつう
年0123€1 000FV = ?

€1 000 を年 2%、連続複利で投資します。3 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €1 000r = 2%t = 3
FV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
か月0123…144€50€50€50FV = ?

12 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 3%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €503% / 12N = 144
FV = €
27.NPV と IRRふつう
年0123456−60 00020 00020 00020 00020 00020 00020 000

あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、6 年間、毎年末に €20 000 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 12%CF0 = −60 000CF1 = 20 000CF2 = 20 000CF3 = 20 000CF4 = 20 000CF5 = 20 000CF6 = 20 000
DPB = 年
28.NPV と IRRむずかしい
年0123−20 0009 00011 0007 500

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €9 000, €11 000, €7 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 11 000CF3 = 7 500
IRR = %
29.正規分布ふつう
200 mm200.6 mmX + Y?

X は平均 120 mm、標準偏差 0.3 mm の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 80 mm、標準偏差 0.4 mm の正規分布に従います。X + Y が 200.6 mm を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 200.6 mm
P =
30.正規分布むずかしい
0.03 mm0D − d?

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 46 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 45 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​4 m4 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 45·4 + 35·8
RB = 460/10 = 46 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 46 = 34 kN

答え

RB = 46 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 36.92 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 8 kN/mP = 35 kNABRA​RB​3 m1.5 m0.5 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·4.5 + 8·2·4
RB = 221.5/6 = 36.92 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 36.92 = 14.08 kN

答え

RB = 36.92 kN
3.トラス：節点法

答え: FAC = 15 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·1 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 15 = 45 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15/0.7071 = −21.21 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−21.21)·0.7071 = 15 kN

答え

FAC = 15 kN (引張)
4.トラス：節点法

答え: FAC = 7.778 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·4 + 10·3 → Cy = 11.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 11.67 = −1.667 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11.67/0.8321 = −14.02 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14.02)·0.5547 = 7.778 kN

答え

FAC = 7.778 kN (引張)
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 146.7 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 80·4
RB = 440/6 = 73.33 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 73.33 = 66.67 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·2 = 66.67·2 = 133.3 kN·m
荷重点 P2: M = RB·2 = 73.33·2 = 146.7 kN·m

最大値

Mmax = 146.7 kN·m (荷重点 P2)

答え

Mmax = 146.7 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 34.69 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·2.5 + 6·4·2
RB = 110.5/4 = 27.63 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 27.63 = 21.38 kN
w = 6 kN/mP = 25 kNABRA​ = 21.38RB​ = 27.63断面2.5 m1.5 m

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 21.38·2.5 − 6·2.5·1.25 = 34.69 kN·m

答え

Mx = 34.69 kN·m
7.はりのたわみ

答え: δ = 2.109 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 2.109 mm

答え

δ = 2.109 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 154 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·3500⁴/(384·11000·11.67) = 2.284 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.284 × 10⁷/75)1/3 = 154 mm

答え

hreq = 154 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 12.36 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1750² = 12359 N = 12.36 kN

答え

Pcr = 12.36 kN
10.柱の座屈

答え: d = 56.68 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 56.68 mm

答え

d = 56.68 mm

確認：細長比 KL/r は 705.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 15.15 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm
ウェブ: Aw = 8·200 = 1600 mm², yw = 200/2 = 100 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·205 + 1600·100)/3600 = 158.3 mm

平行軸の定理

フランジ: 200·10³/12 + 2000·(205 − 158.3)² = 4.372 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·200³/12 + 1600·(100 − 158.3)² = 1.078 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.372 × 10⁶ + 1.078 × 10⁷ = 1.515 × 10⁷ mm⁴ = 15.15 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 15.15 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 65.51 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (20000·100 − 2000·80)/(20000 − 2000) = 102.2 mm

ȳ まわりの全体の板

100·200³/12 + 20000·−2.222² = 66.77 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

50·40³/12 + 2000·−22.22² = 1.254 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 65.51 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 65.51 × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力

答え: σ = 119 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15·3 + 18.5·4 = 119 kPa

答え

σ = 119 kPa
14.地盤の有効応力

答え: σ = 121.3 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·1 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3.5
σ = 16.5·1 + 20·2 + 18.5·3.5 = 121.3 kPa

答え

σ = 121.3 kPa
15.圧密沈下

答え: S = 518.4 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′p = OCR·σ′0 = 2·40 = 80 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 40 + 200 = 240 kPa > 80 kPa

沈下量

σ′p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.04·7.5/(1 + 0.9)·log₁₀(80/40) + 0.25·7.5/(1 + 0.9)·log₁₀(240/80)
S = 47.53 + 470.8 = 518.4 mm

答え

S = 518.4 mm
16.圧密沈下

答え: t = 1.021 年

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr = H = 3 m

時間

t = Tv·Hdr²/cv = 0.567·3²/5 = 1.021 年

答え

t = 1.021 年
17.静水圧

答え: F = 206 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
ゲートd = 2 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

答え

F = 206 kN
18.静水圧

答え: F = 169.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
ゲートd = 3 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.75·4.5 = 169.7 kN

答え

F = 169.7 kN
19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 5.88 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(50/0.15)·1.4²/(2·9.81) = 0.5994 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·0.5994 = 5880 Pa = 5.88 kPa

答え

Δp = 5.88 kPa
20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 3.124 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m

損失係数

f·L/D = 0.022·150/0.2 = 16.5
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

全損失水頭

hf = 16.5·0.1291 = 2.13 m
hm = 7.7·0.1291 = 0.9941 m
Δz = hf + hm = 3.124 m

答え

Δz = 3.124 m
21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 11.71 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1.8)·1.8 = 5.04 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1.8·√(1 + 1²) = 6.091 m
R = A/P = 0.8274 m

速度

V = (1/0.012)·0.82742/3·0.0011/2 = 2.323 m/s

流量

Q = A·V = 5.04·2.323 = 11.71 m³/s

答え

Q = 11.71 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.000803 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1·1.2)·1.2 = 8.04 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1.2·√(1 + 1²) = 8.894 m
R = A/P = 0.904 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·7.1/(8.04·0.9349) = 0.02834
S = 0.02834² = 0.000803

答え

S = 0.000803

これは 1 km あたり 0.803 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: η = 65.1 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·36 = 14.13 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 14.13/21.7 = 65.1%

答え

η = 65.1%
24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 6.983 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s
V²/(2g) = 0.08263 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 6)·0.08263 = 1.983 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + hL = 5 + 1.983 = 6.983 m

答え

H = 6.983 m
25.貨幣の時間価値

答え: FV = 1062 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.02·3 = 0.06
e0.06 = 1.062

将来価値

FV = 1 000·1.062 = €1 061.84

答え

FV = €1 061.84
26.貨幣の時間価値

答え: FV = 8654 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

月利と積立回数

i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·12 = 144

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(1.433 − 1)/0.0025 = €8 653.71

答え

FV = €8 653.71

自分で払い込んだのは €7 200。残りは利息です。

27.NPV と IRR

答え: DPB = 3.941 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 20 000/1.12 = 17 857.14 → Σ = 17 857.14
年度 2: 20 000/1.254 = 15 943.88 → Σ = 33 801.02
年度 3: 20 000/1.405 = 14 235.60 → Σ = 48 036.63
年度 4: 20 000/1.574 = 12 710.36 → Σ = 60 746.99

最後の年の端数

DPB = 3 + 11 963.37/12 710.36 = 3.941

答え

DPB = 3.941 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 18.29 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(15%) = 1 075.04
NPV(20%) = −520.83

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 15 + 5·1 075.04/(1 075.04 − (−520.83)) = 18.37%
正確な値: NPV(18.29%) = 0 → IRR = 18.29%

答え

IRR = 18.29%
29.正規分布

答え: P = 0.1151

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

標準化する

z = (200.6 − 200)/0.5 = 1.2

上側確率

P = 1 − Φ(1.2) = 1 − 0.8849 = 0.1151

答え

P = 0.1151
30.正規分布

答え: P = 0.8849

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

確率

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

答え

P = 0.8849

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