FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 15 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。さらに A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 8 mw₀ = 15 kN/mP = 50 kN 位置 2 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 5 mP = 30 kN 位置 3 mw = 6 kN/m（3 から 5 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 60 kN

F_AC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

D: 25 kN ↓F: 10 kN ↓F: 40 kN →G: 30 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。固定端 Aにおける曲げモーメント M_A を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 2 mP = 35 kN 位置 1 mw = 10 kN/m（0 から 2 m まで）

M_A = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 40 kN 位置 2 mw = 4 kN/m（0 から 4 m まで）x = 0.5 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの支点 A から a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δ_P を求めよ。

P = 7 kNa = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 14 kNw = 15 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 40 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 40 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

100 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 168 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mm穴の中心: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 20 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_下端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 7.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.45、C_r = 0.02、e₀ = 1.15 である。中央深さでの有効鉛直応力は 100 kPa であり、圧密降伏応力は 180 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 40 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7.5 mC_c = 0.45C_r = 0.02e₀ = 1.15σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 25 mm の粘土供試体が 8 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 8 m の層をなしている。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 25 mmt_lab = 8 minH = 8 m現場：両面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 100 m、内径 250 mm の管内を平均流速 1.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 1.9 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 500 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 8 m 高い。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 8 mL = 500 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形の仕上げのないコンクリートの水路の底幅は 3.5 m、側面勾配は 2:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.8 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 3.5 my = 0.8 mz = 2n = 0.014S = 0.002

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 3 m の長方形のきれいな土の水路は、水深 2.5 m の等流で 9.2 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 9.2 m³/sb = 3 my = 2.5 mn = 0.022

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 58 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 30 L/s 送っている。ポンプ効率は 85%、これを駆動する電動機の効率は 90% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 30 L/sH = 58 mη_pump = 85%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 60 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 22 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 85% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 60 L/sΔz = 22 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 21%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 21%m = 12

EAR = %

26.貨幣の時間価値むずかしい

8 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 3%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €1003% / 12N = 96

FV = €

27.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €30 000 です。4 年間、毎年末に €9 500 を生み、その後 €3 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €30 000CF = €9 500S = €3 000n = 4r = 8%

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €15 000, €13 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 15 000CF₂ = 13 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9399 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9399

z =

30.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 77.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·15·8 = 60 kN

x̄ = L/3 = 2.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·2.667 + 50·2

R_B = 32.5 kN

R_A = 110 − 32.5 = 77.5 kN

答え

R_A = 77.5 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 14.4 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN、作用点 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3 + 6·2·4

R_B = 138/5 = 27.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 27.6 = 14.4 kN

答え

R_A = 14.4 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AC = 20 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 20 = 40 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0.7071 = −28.28 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−28.28)·0.7071 = 20 kN

答え

F_AC = 20 kN (引張)

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 68.33 kN (T), BC: 83.33 kN (T), CD: 83.33 kN (T), DE: 58.33 kN (T), FG: 68.33 kN (C), GH: 58.33 kN (C), AF: 35.42 kN (C), HE: 72.92 kN (C), BF: 11.25 kN (T), CG: 0, DH: 43.75 kN (T), BG: 18.75 kN (C), DG: 31.25 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_A = −55 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −35·1 = −35 kN·m

w: −10·2²/2 = −20 kN·m

M_A = −35 − 20 = −55 kN·m

答え

M_A = −55 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 13.5 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 4·4·2

R_B = 112/4 = 28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 28 = 28 kN

x = 0.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 28·0.5 − 4·0.5·0.25 = 13.5 kN·m

答え

M_x = 13.5 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_P = 4.211 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 7000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 7000·2000²·3000²/(3·3.99 × 10¹²·5000) = 4.211 mm

答え

δ_P = 4.211 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 7.799 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 14000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm, EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 14000·1500³/(48·2.53 × 10¹¹) = 3.891 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 3.908 mm

足し合わせる

δ_max = 3.891 + 3.908 = 7.799 mm

答え

δ_max = 7.799 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 17.62 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1750² = 17624 N = 17.62 kN

答え

P_cr = 17.62 kN

10.柱の座屈

答え: d = 30.14 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 30.14 mm

答え

d = 30.14 mm

確認：細長比 KL/r は 132.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·120 − 1963·168)/(24000 − 1963) = 115.7 mm

ȳ まわりの全体の板

100·240³/12 + 24000·4.277² = 115.6 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·50⁴/64 + 1963·52.28² = 5.673 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 131 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

ウェブ: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·245 + 2400·120)/3800 = 166.1 mm

平行軸の定理

フランジ: 140·10³/12 + 1400·(245 − 166.1)² = 8.737 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 10·240³/12 + 2400·(120 − 166.1)² = 1.661 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.737 × 10⁶ + 1.661 × 10⁷ = 2.535 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 166.1 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·166.1/2.535 × 10⁷ = 131 MPa

答え

σ_下端 = 131 MPa

13.地盤の有効応力

答え: u = 9.81 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·1 = 9.81 kPa

答え

u = 9.81 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 58.86 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

答え

u = 58.86 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 10.19 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 100 + 40 = 140 kPa ≤ 180 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·7.5/(1 + 1.15)·log₁₀(140/100) = 10.19 mm

答え

S = 10.19 mm

16.圧密沈下

答え: t = 568.9 日

排水距離

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 8/2 = 4 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 8·(4/0.0125)² = 819200 min

t_field = 819200/1440 = 568.9 日

答え

t = 568.9 日

17.静水圧

答え: F = 60.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

答え

F = 60.7 kN

18.静水圧

答え: F = 25.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·2 = 25.9 kN

答え

F = 25.9 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 1.619 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 1.9²/(2·9.81) = 0.184 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(100/0.25)·1.9²/(2·9.81) = 1.619 m

答え

h_f = 1.619 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 155.6 L/s

損失係数

f·L/D = 0.015·500/0.3 = 25

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

8 = (25 + 7.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·8/32.4) = 2.201 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 2.201·0.07069 = 0.1556 m³/s = 155.6 L/s

答え

Q = 155.6 L/s

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 9.027 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 2·0.8)·0.8 = 4.08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.8·√(1 + 2²) = 7.078 m

R = A/P = 0.5765 m

速度

V = (1/0.014)·0.5765^2/3·0.002^1/2 = 2.213 m/s

流量

Q = A·V = 4.08·2.213 = 9.027 m³/s

答え

Q = 9.027 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0007937 m/m

断面の形状

A = b·y = 3·2.5 = 7.5 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2.5 = 8 m

R = A/P = 0.9375 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·9.2/(7.5·0.9579) = 0.02817

S = 0.02817² = 0.0007937

答え

S = 0.0007937

これは 1 km あたり 0.7937 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 22.31 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·58 = 17.07 kW

軸動力

P_shaft = 17.07/0.85 = 20.08 kW

電力

P_el = 20.08/0.9 = 22.31 kW

答え

P_el = 22.31 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 17.87 kW

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12.5 + 8)·0.1859 = 3.811 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 22 + 3.811 = 25.81 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·25.81/0.85 = 17.87 kW

答え

P_shaft = 17.87 kW

25.貨幣の時間価値

答え: EAR = 23.14 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.21/12 = 0.0175

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.0175)¹² − 1 = 1.231 − 1 = 23.14%

答え

EAR = 23.14%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 10835 €

月利と積立回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·8 = 96

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.271 − 1)/0.0025 = €10 834.74

答え

FV = €10 834.74

自分で払い込んだのは €9 600。残りは利息です。

27.NPV と IRR

答え: NPV = 3670 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

9 500·3.312 = 31 465.20

残存価値の現在価値

3 000/1.36 = 2 205.09

NPV

NPV = −30 000 + 31 465.20 + 2 205.09 = €3 670.29

答え

NPV = €3 670.29

28.NPV と IRR

答え: IRR = 26.42 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 320.00

NPV(30%) = −769.23

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·320.00/(320.00 − (−769.23)) = 26.47%

正確な値: NPV(26.42%) = 0 → IRR = 26.42%

答え

IRR = 26.42%

29.正規分布

答え: z = 1.88

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.9399)/2 = 0.9699

z 表を逆に読む

表の中で 0.9699 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.88

答え

z = 1.88

30.正規分布

答え: P = 0.9099

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

確率

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

答え

P = 0.9099

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