FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 15 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 5 mw₀ = 15 kN/m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

はりは A でピン支点、A から 4.5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用し、2.5 m から 6 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

AB = 4.5 mAC = 6 mP = 70 kN 位置 3.5 mw = 2 kN/m（2.5 から 6 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 35 kN

F_BC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 10 kN ←

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 8 kN/m（0 から 10 m まで）x = 2 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 9 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mP = 60 kN 位置 9 mw = 3 kN/m（0 から 10 m まで）x = 9 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 4 kNw = 2 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 40 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 40 kN·m

σ_下端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 7.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 4.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.35、C_r = 0.03、e₀ = 0.8 である。中央深さでの有効鉛直応力は 45 kPa であり、圧密降伏応力は 135 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 210 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 4.5 mC_c = 0.35C_r = 0.03e₀ = 0.8σ′₀ = 45 kPaσ′_p = 135 kPaΔσ = 210 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 10 m の粘土層の圧密係数は c_v = 1.2 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 60% に対する時間係数は T_v = 0.287 である。この層が圧密度 60% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 10 mc_v = 1.2 m²/年度U = 60%T_v = 0.287両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 1000 m、内径 300 mm の管内を 60 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.028、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 60 L/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 400 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 36 m 高い。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 36 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の仕上げのないコンクリートの水路の幅は 2 m である。水は水深 2.5 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2 my = 2.5 mn = 0.014S = 0.002

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 2.5 m の長方形の芝で覆われた土の水路は、水深 1.9 m の等流で 3.7 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 3.7 m³/sb = 2.5 my = 1.9 mn = 0.03

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 82% のポンプが揚程 40 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 10 L/sH = 40 mη = 82%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 12 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 100 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €2 000 を 11 年間支払います。利率は年 7% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €2 000i = 7%n = 11

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 の住宅ローンを、年 6%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。9 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €200 0006% / 12N = 240k = 108

B = €

27.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€10 000, €6 000, €8 000, €6 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 6 000CF₃ = 8 000CF₄ = 6 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €10 500, €9 000, €14 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 500CF₂ = 9 000CF₃ = 14 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.3594 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.3594

z =

30.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの下位 60% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点60%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 12.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·15·5 = 37.5 kN

x̄ = L/3 = 1.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 37.5·1.667

R_B = 12.5 kN

R_A = 37.5 − 12.5 = 25 kN

答え

R_B = 12.5 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 15.94 kN

分布荷重の合力

W = 2·3.5 = 7 kN, x̄ = (2.5 + 6)/2 = 4.25 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 70·3.5 + 7·4.25

R_B = 274.8/4.5 = 61.06 kN

R_A = 77 − 61.06 = 15.94 kN

答え

R_A = 15.94 kN

3.トラス：節点法

答え: F_BC = −30.06 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·5 → C_y = 29.17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 29.17 = 5.833 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −29.17/0.9701 = −30.06 kN

答え

F_BC = −30.06 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −34.47 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·5 − 10·3 → C_y = 24.38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 24.38 = 20.63 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24.38/0.7071 = −34.47 kN

答え

F_BC = −34.47 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 64 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 40·2 − 8·2·1 = 64 kN·m

答え

M_x = 64 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 67.5 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·9 + 3·10·5

R_B = 690/10 = 69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 69 = 21 kN

x = 9 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 21·9 − 3·9·4.5 = 67.5 kN·m

答え

M_x = 67.5 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ = 30.48 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 8·4000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 30.48 mm

答え

δ = 30.48 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 1.441 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 4000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·1.61 × 10¹²) = 0.8087 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 0.6318 mm

足し合わせる

δ_max = 0.8087 + 0.6318 = 1.441 mm

答え

δ_max = 1.441 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 228.5 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/3000² = 228463 N = 228.5 kN

答え

P_cr = 228.5 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 26.99 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12.5 = 160

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa

答え

σ_cr = 26.99 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 4.935 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112.5 mm

ウェブ: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·112.5 + 1200·50)/5700 = 99.34 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·25³/12 + 4500·(112.5 − 99.34)² = 1.013 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 12·100³/12 + 1200·(50 − 99.34)² = 3.922 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.013 × 10⁶ + 3.922 × 10⁶ = 4.935 × 10⁶ mm⁴ = 4.935 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 4.935 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 268.4 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

ウェブ: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·185 + 2880·90)/5480 = 135.1 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·10³/12 + 2600·(185 − 135.1)² = 6.503 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 16·180³/12 + 2880·(90 − 135.1)² = 1.363 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.503 × 10⁶ + 1.363 × 10⁷ = 2.013 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 135.1 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·135.1/2.013 × 10⁷ = 268.4 MPa

答え

σ_下端 = 268.4 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 32.38 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 18.5·2 = 52 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 52 − 19.62 = 32.38 kPa

答え

σ′ = 32.38 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 68.98 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3.5

σ = 16·1 + 18.5·3 + 17.5·3.5 = 132.8 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6.5 = 63.77 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 132.8 − 63.77 = 68.98 kPa

答え

σ′ = 68.98 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 277.5 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 45 + 210 = 255 kPa > 135 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.03·4.5/(1 + 0.8)·log₁₀(135/45) + 0.35·4.5/(1 + 0.8)·log₁₀(255/135)

S = 35.78 + 241.7 = 277.5 mm

答え

S = 277.5 mm

16.圧密沈下

答え: t = 5.979 年

排水距離

H_dr = H/2 = 10/2 = 5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.287·5²/1.2 = 5.979 年

答え

t = 5.979 年

17.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

18.静水圧

答え: F = 129.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·3 = 129.8 kN

答え

F = 129.8 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 3.427 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.06/0.07069 = 0.8488 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 0.8488²/(2·9.81) = 0.03672 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(1000/0.3)·0.8488²/(2·9.81) = 3.427 m

答え

h_f = 3.427 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 217.1 L/s

損失係数

f·L/D = 0.015·400/0.25 = 24

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

36 = (24 + 12.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·36/36.1) = 4.423 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.423·0.04909 = 0.2171 m³/s = 217.1 L/s

答え

Q = 217.1 L/s

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 12.76 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 2·2.5 = 5 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2.5 = 7 m

R = A/P = 0.7143 m

速度

V = (1/0.014)·0.7143^2/3·0.002^1/2 = 2.553 m/s

流量

Q = A·V = 5·2.553 = 12.76 m³/s

答え

Q = 12.76 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0007958 m/m

断面の形状

A = b·y = 2.5·1.9 = 4.75 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·1.9 = 6.3 m

R = A/P = 0.754 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·3.7/(4.75·0.8284) = 0.02821

S = 0.02821² = 0.0007958

答え

S = 0.0007958

これは 1 km あたり 0.7958 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 4.785 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·40 = 3.924 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 3.924/0.82 = 4.785 kW

答え

P_shaft = 4.785 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 29.8 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0.3305 = 7.602 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 12 + 10.19 + 7.602 = 29.8 m

答え

H = 29.8 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 14997 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4751)/0.07 = 7.499

現在価値

PV = 2 000·7.499 = €14 997.35

答え

PV = €14 997.35

26.貨幣の時間価値

答え: B = 138213 €

毎月の返済額

i = 0.005, N = 240

A = 200 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻²⁴⁰) = €1 432.86

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 240 − 108 = 132

B = 1433·(1 − (1 + 0.005)⁻¹³²)/0.005 = €138 213.30

答え

B = €138 213.30

27.NPV と IRR

答え: NPV = 5694 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 10 000/1.07 = 9 345.79

CF₂/(1 + 0.07)² = 6 000/1.145 = 5 240.63

CF₃/(1 + 0.07)³ = 8 000/1.225 = 6 530.38

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 6 000/1.311 = 4 577.37

合計する

NPV = €5 694.18

答え

NPV = €5 694.18

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 16.07 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(15%) = 469.71

NPV(20%) = −1 608.80

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 15 + 5·469.71/(469.71 − (−1 608.80)) = 16.13%

正確な値: NPV(16.07%) = 0 → IRR = 16.07%

答え

IRR = 16.07%

29.正規分布

答え: z = 0.36

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.3594 = 0.6406

z 表を逆に読む

表の中で 0.6406 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.36

答え

z = 0.36

30.正規分布

答え: x = 67.5 点

左側の面積

Φ(z) = 0.6

表からの z

z ≈ 0.25

元の単位に戻す

x = 65 + 0.25·10 = 67.5 点

答え

x = 67.5 点

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