FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 4 mP₁ = 55 kN 位置 1 mP₂ = 15 kN 位置 3 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 8 m の位置に水平と 60° をなす荷重 P が、A から 3 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。ピン A における全反力 R_A の大きさを求めよ。

L = 10 mP = 25 kN 位置 8 m, θ = 60°Q = 40 kN 位置 3 m

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 35 kN

F_BC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 35 kN ↓F: 40 kN ↓H: 30 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 2 m30 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 40 kN 位置 3 mw = 2 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。支点 B の反力 R_B を求めよ。

L = 6 mw = 6 kN/m

R_B = kN

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 55 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 220 mm、外高は H = 350 mm、壁厚は一様に t = 18 mm である。水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

B = 220 mmH = 350 mmt = 18 mm

r = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

150 mm × 150 mm の板に、幅 30 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 52.5 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mm切り欠き: 30 × 40 mm穴の中心: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 10 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³粘土: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 7 m の過圧密粘土層の C_c = 0.35、C_r = 0.06、e₀ = 1.05 である。中央深さでの有効鉛直応力は 75 kPa であり、圧密降伏応力は 105 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 80 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7 mC_c = 0.35C_r = 0.06e₀ = 1.05σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 105 kPaΔσ = 80 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 5.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 4 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 90% に対する時間係数は T_v = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 5.5 mc_v = 4 m²/年度U = 90%T_v = 0.848両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 800 m、内径 250 mm の管内を 100 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 100 L/sL = 800 mD = 250 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 200 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 200 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 200 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 750 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 750 mmn = 0.013S = 0.0008

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 300 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.9 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 300 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 76 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送っている。ポンプ効率は 72%、これを駆動する電動機の効率は 94% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 15 L/sH = 76 mη_pump = 72%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 8 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 70% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 100 L/sΔz = 8 mL = 500 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €2 000 を 7 年間支払います。利率は年 7% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €2 000i = 7%n = 7

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€12 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €12 0002.4% / 12N = 72

A = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、1 年目から 6 年目の各年末に €7 500, €10 000, €11 500, €12 000, €13 000, €13 000 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 500CF₂ = 10 000CF₃ = 11 500CF₄ = 12 000CF₅ = 13 000CF₆ = 13 000

DPB = 年

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €14 500, €26 500, €21 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 26 500CF₃ = 21 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9634 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9634

z =

30.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 99% がそれより下にある値 x（第 99 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 15·3

R_B = 100/4 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 25 = 45 kN

答え

R_B = 25 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 34.66 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

P_v = 25·sin 60° = 21.65 kN

P_h = 25·cos 60° = 12.5 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·10 = 21.65·8 + 40·3 → R_B = 29.32 kN

A_y = 21.65 + 40 − 29.32 = 32.33 kN

A_x = P_h = 12.5 kN

A での合力

R_A = √(12.5² + 32.33²) = 34.66 kN

答え

R_A = 34.66 kN

3.トラス：節点法

答え: F_BC = −29.35 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26.25 = 8.75 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26.25/0.8944 = −29.35 kN

答え

F_BC = −29.35 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 19.69 kN (T), BC: 13.12 kN (T), CD: 13.12 kN (T), DE: 6.562 kN (T), FG: 49.69 kN (C), GH: 36.56 kN (C), AF: 82.81 kN (C), HE: 10.94 kN (C), BF: 26.25 kN (T), CG: 0, DH: 8.75 kN (T), BG: 10.94 kN (T), DG: 10.94 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 48.33 kN, R₂ = 16.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 48.33, M_C = 66.67 kN·m, M_D = 50, M_E = 33.33, M_F = 16.67, M_G = 0

答え

点 C: M_C = 66.67 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 33 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN、作用点 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 2·4·2

R_B = 136/4 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 34 = 14 kN

x = 3 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 14·3 − 2·3·1.5 = 33 kN·m

答え

M_x = 33 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 11.48 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 11.48 mm

答え

δ_max = 11.48 mm

8.はりのたわみ

答え: R_B = 13.5 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 R_B だけで自由端は R_BL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·6/8 = 13.5 kN

答え

R_B = 13.5 kN

9.柱の座屈

答え: P_cr = 16.06 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·4000 = 4000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/4000² = 16064 N = 16.06 kN

答え

P_cr = 16.06 kN

10.柱の座屈

答え: d = 46.16 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 46.16 mm

答え

d = 46.16 mm

確認：細長比 KL/r は 173.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: r = 127.3 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

b = 184 mm, h = 314 mm

A = BH − bh = 220·350 − 184·314 = 19224 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3.113 × 10⁸ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(3.113 × 10⁸/19224) = 127.3 mm

答え

r = 127.3 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 41.39 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 1200·52.5)/(22500 − 1200) = 76.27 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·−1.268² = 42.22 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·40³/12 + 1200·−23.77² = 0.8379 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 41.39 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 41.39 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: u = 78.48 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·8 = 78.48 kPa

答え

u = 78.48 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 39.24 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

答え

u = 39.24 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 232.1 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 75 + 80 = 155 kPa > 105 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.06·7/(1 + 1.05)·log₁₀(105/75) + 0.35·7/(1 + 1.05)·log₁₀(155/105)

S = 29.94 + 202.1 = 232.1 mm

答え

S = 232.1 mm

16.圧密沈下

答え: t = 1.603 年

排水距離

H_dr = H/2 = 5.5/2 = 2.75 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·2.75²/4 = 1.603 年

答え

t = 1.603 年

17.静水圧

答え: F = 78.48 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4 = 78.48 kN

答え

F = 78.48 kN

18.静水圧

答え: F = 242.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN

答え

F = 242.8 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 14.89 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 2.037²/(2·9.81) = 0.2115 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(800/0.25)·2.037²/(2·9.81) = 14.89 m

答え

h_f = 14.89 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 8.582 m

速度

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失係数

f·L/D = 0.02·200/0.3 = 13.33

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 13.33 + 6.7)·0.408 = 8.582 m

答え

H = 8.582 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.1574 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.2209 m², R = D/4 = 0.1875 m

速度

V = (1/0.013)·0.1875^2/3·0.0008^1/2 = 0.7127 m/s

流量

Q = A·V = 0.2209·0.7127 = 0.1574 m³/s

答え

Q = 0.1574 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.004328 m/m

径深

R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.1778)² = 0.004328

答え

S = 0.004328

これは 1 km あたり 4.328 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 16.52 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·76 = 11.18 kW

軸動力

P_shaft = 11.18/0.72 = 15.53 kW

電力

P_el = 15.53/0.94 = 16.52 kW

答え

P_el = 16.52 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 23.66 kW

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0.2115 = 8.884 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 8 + 8.884 = 16.88 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·16.88/0.7 = 23.66 kW

答え

P_shaft = 23.66 kW

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 10779 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.6227)/0.07 = 5.389

現在価値

PV = 2 000·5.389 = €10 778.58

答え

PV = €10 778.58

26.貨幣の時間価値

答え: A = 179.1 €

月利と返済回数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.866

A = 12 000·0.002/(1 − 0.866) = €179.12

答え

A = €179.12

27.NPV と IRR

答え: DPB = 3.937 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 7 500/1.12 = 6 696.43 → Σ = 6 696.43

年度 2: 10 000/1.254 = 7 971.94 → Σ = 14 668.37

年度 3: 11 500/1.405 = 8 185.47 → Σ = 22 853.84

年度 4: 12 000/1.574 = 7 626.22 → Σ = 30 480.06

最後の年の端数

DPB = 3 + 7 146.16/7 626.22 = 3.937

答え

DPB = 3.937 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.083 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 23.91 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 2 638.89

NPV(25%) = −688.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·2 638.89/(2 638.89 − (−688.00)) = 23.97%

正確な値: NPV(23.91%) = 0 → IRR = 23.91%

答え

IRR = 23.91%

29.正規分布

答え: z = 2.09

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.9634)/2 = 0.9817

z 表を逆に読む

表の中で 0.9817 を見つけ、z を読み取ります。

z = 2.09

答え

z = 2.09

30.正規分布

答え: x = 194.3 cm

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

x に戻す

x = 178 + 2.326·7 = 194.28 cm

答え

x = 194.28 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil