FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 10 mP₁ = 50 kN 位置 7 mP₂ = 20 kN 位置 8 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 12 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 4 m の位置の集中荷重 P が作用する。壁における反力モーメント M_A の大きさを求めよ。

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 80 kN 位置 4 m

M_A = kN·m

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 35 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

C: 30 kN ↓D: 25 kN ↓F: 15 kN ↓F: 40 kN →G: 15 kN ↓H: 35 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 8 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 4 kN/m（0 から 10 m まで）x = 8 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mP = 30 kN 位置 1 mw = 12 kN/m（0 から 8 m まで）x = 1 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ h_req を求めよ。

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm

h_req = mm

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 240 mm、外高は H = 325 mm、壁厚は一様に t = 6 mm である。水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

B = 240 mmH = 325 mmt = 6 mm

r = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 40 MPa、圧縮で 100 MPa である。はりが負担できる最大の負の曲げモーメント M_allow を求めよ（大きさで答えよ）。

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 4 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 3 m の過圧密粘土層の C_c = 0.35、C_r = 0.02、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 110 kPa であり、圧密降伏応力は 150 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 70 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 3 mC_c = 0.35C_r = 0.02e₀ = 0.95σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 70 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 5 m²/年である。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。平均圧密度 90% に対する時間係数は T_v = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 5 mc_v = 5 m²/年度U = 90%T_v = 0.848片面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 150 m、内径 250 mm の水平管内を 0.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 0.9 m/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 60 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形のれんが積みの水路の底幅は 6 m、側面勾配は 3:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.7 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.015、水路床勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 6 my = 1.7 mz = 3n = 0.015S = 0.001

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 1 m、側面勾配 3:1（水平:鉛直）の台形のれんが積みの水路は、水深 2.1 m の等流で 59 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.015。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 59 m³/sb = 1 my = 2.1 mz = 3n = 0.015

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 44 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 30 L/s 送っている。ポンプ効率は 85%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 30 L/sH = 44 mη_pump = 85%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 5

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 24%、毎日複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 24%m = 365

EAR = %

26.貨幣の時間価値むずかしい

年 7.2%、月複利で €20 000 を借り、毎月末に €400 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €20 000A = €4007.2% / 12

N = 回

27.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €5 000, €6 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 5 000CF₃ = 6 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €25 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €13 000, €9 000, €15 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 13 000CF₂ = 9 000CF₃ = 15 000

MIRR = %

29.正規分布ふつう

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。30.2 から 37.1 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 32σ = 6x₁ = 30.2x₂ = 37.1

P =

30.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 19 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·7 + 20·8

R_B = 510/10 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 51 = 19 kN

答え

R_A = 19 kN

2.はりの支点反力

答え: M_A = 420 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 R_A と反力モーメント M_A を与えます。ΣF_y = 0 から R_A が、壁まわりのモーメントから M_A = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

壁まわりのモーメント

M_A = W·x̄ + P·a = 30·3.333 + 80·4 = 420 kN·m

答え

M_A = 420 kN·m

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −15.71 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·5 → C_y = 29.17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 29.17 = 5.833 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/5.385 = 0.3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5.833/0.3714 = −15.71 kN

答え

F_AB = −15.71 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: 部材 BF

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 B

AB と BC は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、BF だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 66.56 kN (T), BC: 66.56 kN (T), CD: 63.44 kN (T), DE: 63.44 kN (T), FG: 81.88 kN (C), GH: 81.88 kN (C), AF: 44.27 kN (C), HE: 105.7 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 25.52 kN (T), HC: 30.73 kN (T)

答え

ゼロ部材: BF

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 32 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

x = 8 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 20·8 − 4·8·4 = 32 kN·m

答え

M_x = 32 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 68.25 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN、作用点 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·1 + 12·8·4

R_B = 414/8 = 51.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 126 − 51.75 = 74.25 kN

x = 1 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 74.25·1 − 12·1·0.5 = 68.25 kN·m

答え

M_x = 68.25 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ = 39.53 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·2.53 × 10¹¹) = 39.53 mm

答え

δ = 39.53 mm

8.はりのたわみ

答え: h_req = 237 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

必要な断面二次モーメント

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·20) = 1.11 × 10⁸ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = I_req → h = (12·1.11 × 10⁸/100)^1/3 = 237 mm

答え

h_req = 237 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: P_cr = 50.76 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1750² = 50758 N = 50.76 kN

答え

P_cr = 50.76 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 24.87 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166.7

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166.7² = 24.87 MPa

答え

σ_cr = 24.87 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: r = 125.2 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

b = 228 mm, h = 313 mm

A = BH − bh = 240·325 − 228·313 = 6636 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.039 × 10⁸ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(1.039 × 10⁸/6636) = 125.2 mm

答え

r = 125.2 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: M_allow = 44 kN·m

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

図心

ȳ = (7800·275 + 5200·130)/13000 = 217 mm

上縁: c = 290 − 217 = 73 mm

断面二次モーメント

I = 260·30³/12 + 7800·58² + 20·260³/12 + 5200·87² = 9.548 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

負の曲げ：上側は引張、下側は圧縮です。

上縁: M = 40·9.548 × 10⁷/73 = 52.32 kN·m

下縁: M = 100·9.548 × 10⁷/217 = 44 kN·m

決定値

M_allow = min = 44 kN·m (下縁)

答え

M_allow = 44 kN·m

13.地盤の有効応力

答え: σ = 73.5 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·1 + 19·3 = 73.5 kPa

答え

σ = 73.5 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 58.86 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

答え

u = 58.86 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 46.78 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 110 + 70 = 180 kPa > 150 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.02·3/(1 + 0.95)·log₁₀(150/110) + 0.35·3/(1 + 0.95)·log₁₀(180/150)

S = 4.145 + 42.64 = 46.78 mm

答え

S = 46.78 mm

16.圧密沈下

答え: t = 4.24 年

排水距離

H_dr = H = 5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·5²/5 = 4.24 年

答え

t = 4.24 年

17.静水圧

答え: F = 47.82 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·1.5 = 47.82 kN

答え

F = 47.82 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 1.857 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·2.25 = 38.63 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 0.4219/(1.75·2.25) = 1.857 m

答え

y_cp = 1.857 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 4.374 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(150/0.25)·0.9²/(2·9.81) = 0.4459 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·0.4459 = 4374 Pa = 4.374 kPa

答え

Δp = 4.374 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 1.295 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.04909 = 1.222 m/s

V²/(2g) = 0.07615 m

損失係数

f·L/D = 0.018·200/0.25 = 14.4

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6

全損失水頭

h_f = 14.4·0.07615 = 1.097 m

h_m = 2.6·0.07615 = 0.198 m

Δz = h_f + h_m = 1.295 m

答え

Δz = 1.295 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 43.07 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·1.7)·1.7 = 18.87 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1.7·√(1 + 3²) = 16.75 m

R = A/P = 1.126 m

速度

V = (1/0.015)·1.126^2/3·0.001^1/2 = 2.282 m/s

流量

Q = A·V = 18.87·2.282 = 43.07 m³/s

答え

Q = 43.07 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.003032 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·2.1)·2.1 = 15.33 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2.1·√(1 + 3²) = 14.28 m

R = A/P = 1.073 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·59/(15.33·1.048) = 0.05507

S = 0.05507² = 0.003032

答え

S = 0.003032

これは 1 km あたり 3.032 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 17.31 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·44 = 12.95 kW

軸動力

P_shaft = 12.95/0.85 = 15.23 kW

電力

P_el = 15.23/0.88 = 17.31 kW

答え

P_el = 17.31 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 18.92 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 5)·0.3305 = 8.924 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 10 + 8.924 = 18.92 m

答え

H = 18.92 m

25.貨幣の時間価値

答え: EAR = 27.11 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.24/365 = 0.0006575

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.0006575)³⁶⁵ − 1 = 1.271 − 1 = 27.11%

答え

EAR = 27.11%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

26.貨幣の時間価値

答え: N = 60 回

年金の公式を変形する

i = 0.006

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.006/400 = 0.7

対数を使って解く

N = −ln(0.7)/ln(1.006) = 59.62

返済回数を整数に切り上げる

59 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 60

答え

N = 60 回

27.NPV と IRR

答え: NPV = −4600 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 8 000/1.12 = 7 142.86

CF₂/(1 + 0.12)² = 5 000/1.254 = 3 985.97

CF₃/(1 + 0.12)³ = 6 000/1.405 = 4 270.68

合計する

NPV = €−4 600.49

答え

NPV = €−4 600.49

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

28.NPV と IRR

答え: MIRR = 16.12 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

13 000·1.06² = 14 606.80

9 000·1.06¹ = 9 540.00

15 000·1.06⁰ = 15 000.00

TV = 39 146.80

MIRR

MIRR = (39 146.80/25 000)^1/3 − 1 = 16.12%

答え

MIRR = 16.12%

29.正規分布

答え: P = 0.4202

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (30.2 − 32)/6 = −0.3

z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85

間の面積

P = Φ(0.85) − Φ(−0.3) = 0.8023 − 0.3821 = 0.4202

答え

P = 0.4202

30.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

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