FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 4 mP₁ = 15 kN 位置 1 mP₂ = 10 kN 位置 2.5 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 5 mP = 50 kN 位置 2.5 mw = 6 kN/m（0 から 2 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 10 kN ↓D: 30 kN ↓F: 10 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 35 kN ↓C: 30 kN ↓F: 30 kN ↓F: 35 kN →G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 6 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 2 kN/m（0 から 10 m まで）x = 6 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mP = 55 kN 位置 4 mw = 3 kN/m（0 から 10 m まで）x = 4 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ h_req を求めよ。

w = 2.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm

h_req = mm

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 65 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 65 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

100 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 168 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mm穴の中心: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

溶接 I 形断面は、上フランジ 170 × 10 mm、高さ 350 mm・厚さ 16 mm のウェブ、下フランジ 210 × 14 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

上フランジ: 170 × 10 mmウェブ: 16 × 350 mm下フランジ: 210 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 6.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 2.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.25、C_r = 0.05、e₀ = 1.05 である。中央深さでの有効鉛直応力は 80 kPa であり、圧密降伏応力は 110 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 160 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 2.5 mC_c = 0.25C_r = 0.05e₀ = 1.05σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 110 kPaΔσ = 160 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 5.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 1.5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 50% に対する時間係数は T_v = 0.197 である。この層が圧密度 50% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 5.5 mc_v = 1.5 m²/年度U = 50%T_v = 0.197両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 200 m、内径 150 mm の管内を 60 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 80 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 450 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 450 mmn = 0.013S = 0.0008

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 4.5 m、側面勾配 1:1（水平:鉛直）の台形の芝で覆われた土の水路は、水深 2 m の等流で 28 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 28 m³/sb = 4.5 my = 2 mz = 1n = 0.03

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 12 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。ポンプ効率は 75%、これを駆動する電動機の効率は 90% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 40 L/sH = 12 mη_pump = 75%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 80% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 5η = 80%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 2%、月複利で €3 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €3 0002% / 12n = 6

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

18 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €504.2% / 12N = 216

FV = €

27.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €7 000, €8 000, €5 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 7 000CF₃ = 8 000CF₄ = 5 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €7 500, €10 000, €13 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 10 000CF₃ = 13 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。82 から 127.75 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 127.75

P =

30.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの下位 5% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 10 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1 + 10·2.5

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 10 = 15 kN

答え

R_B = 10 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 34.6 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN、作用点 x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2.5 + 6·2·1

R_B = 137/5 = 27.4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 27.4 = 34.6 kN

答え

R_A = 34.6 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 G

FG と GH は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 22.5 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 25 kN (C), AF: 31.82 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 3.536 kN (T), HC: 3.536 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: 部材 DH

節点 D

CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 105 kN (T), BC: 105 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 110 kN (C), GH: 110 kN (C), AF: 98.99 kN (C), HE: 84.85 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 7.071 kN (T), HC: 70.71 kN (T)

答え

ゼロ部材: DH

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 24 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

x = 6 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 10·6 − 2·6·3 = 24 kN·m

答え

M_x = 24 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 168 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·4 + 3·10·5

R_B = 370/10 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 37 = 48 kN

x = 4 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 48·4 − 3·4·2 = 168 kN·m

答え

M_x = 168 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ = 3.444 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 3.444 mm

答え

δ = 3.444 mm

8.はりのたわみ

答え: h_req = 237 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·5000⁴/(384·11000·16.67) = 1.11 × 10⁸ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = I_req → h = (12·1.11 × 10⁸/100)^1/3 = 237 mm

答え

h_req = 237 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: P_cr = 44.98 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·4000 = 4000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/4000² = 44979 N = 44.98 kN

答え

P_cr = 44.98 kN

10.柱の座屈

答え: d = 66.17 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66.17 mm

答え

d = 66.17 mm

確認：細長比 KL/r は 120.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 112 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·120 − 1257·168)/(24000 − 1257) = 117.3 mm

ȳ まわりの全体の板

100·240³/12 + 24000·2.652² = 115.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·50.65² = 3.35 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 112 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 112 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 204.6 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 1700 mm², y = 369 mm

ウェブ: A = 5600 mm², y = 189 mm

下フランジ: A = 2940 mm², y = 7 mm

図心

ȳ = (1700·369 + 5600·189 + 2940·7)/10240 = 166.6 mm

平行軸の定理

上フランジ: 170·10³/12 + 1700·202.4² = 6.964 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 16·350³/12 + 5600·22.37² = 5.997 × 10⁷ mm⁴

下フランジ: 210·14³/12 + 2940·159.6² = 7.496 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.964 × 10⁷ + 5.997 × 10⁷ + 7.496 × 10⁷

I_x = 2.046 × 10⁸ mm⁴ = 204.6 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 204.6 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 71.07 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 18.5·3 = 100.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 100.5 − 29.43 = 71.07 kPa

答え

σ′ = 71.07 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 116.3 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 16·2 + 19·2 + 18.5·2.5 = 116.3 kPa

答え

σ = 116.3 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 111.7 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 80 + 160 = 240 kPa > 110 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.05·2.5/(1 + 1.05)·log₁₀(110/80) + 0.25·2.5/(1 + 1.05)·log₁₀(240/110)

S = 8.433 + 103.3 = 111.7 mm

答え

S = 111.7 mm

16.圧密沈下

答え: t = 0.9932 年

排水距離

H_dr = H/2 = 5.5/2 = 2.75 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·2.75²/1.5 = 0.9932 年

答え

t = 0.9932 年

17.静水圧

答え: F = 25.75 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·1.5 = 25.75 kN

答え

F = 25.75 kN

18.静水圧

答え: F = 235.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN

答え

F = 235.4 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 14.1 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 3.395²/(2·9.81) = 0.5876 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(200/0.15)·3.395²/(2·9.81) = 14.1 m

答え

h_f = 14.1 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 1.005 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

損失係数

f·L/D = 0.025·150/0.3 = 12.5

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

全損失水頭

h_f = 12.5·0.06529 = 0.8161 m

h_m = 2.9·0.06529 = 0.1893 m

Δz = h_f + h_m = 1.005 m

答え

Δz = 1.005 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.04032 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.07952 m², R = D/4 = 0.1125 m

速度

V = (1/0.013)·0.1125^2/3·0.0008^1/2 = 0.507 m/s

流量

Q = A·V = 0.07952·0.507 = 0.04032 m³/s

答え

Q = 0.04032 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.003004 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 1·2)·2 = 13 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·2·√(1 + 1²) = 10.16 m

R = A/P = 1.28 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·28/(13·1.179) = 0.05481

S = 0.05481² = 0.003004

答え

S = 0.003004

これは 1 km あたり 3.004 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 6.976 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·12 = 4.709 kW

軸動力

P_shaft = 4.709/0.75 = 6.278 kW

電力

P_el = 6.278/0.9 = 6.976 kW

答え

P_el = 6.976 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 8.707 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 5)·0.2611 = 11.75 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 6 + 11.75 = 17.75 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·17.75/0.8 = 8.707 kW

答え

P_shaft = 8.707 kW

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 3382 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·6 = 72

将来価値

FV = 3 000·(1 + 0.001667)⁷² = 3 000·1.127 = €3 382.15

答え

FV = €3 382.15

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 16099 €

月利と積立回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·18 = 216

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2.127 − 1)/0.0035 = €16 099.01

答え

FV = €16 099.01

自分で払い込んだのは €10 800。残りは利息です。

27.NPV と IRR

答え: NPV = 4455 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 8 000/1.06 = 7 547.17

CF₂/(1 + 0.06)² = 7 000/1.124 = 6 229.98

CF₃/(1 + 0.06)³ = 8 000/1.191 = 6 716.95

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 5 000/1.262 = 3 960.47

合計する

NPV = €4 454.57

答え

NPV = €4 454.57

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 22.08 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 717.59

NPV(25%) = −944.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·717.59/(717.59 − (−944.00)) = 22.16%

正確な値: NPV(22.08%) = 0 → IRR = 22.08%

答え

IRR = 22.08%

29.正規分布

答え: P = 0.8528

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (82 − 100)/15 = −1.2

z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85

間の面積

P = Φ(1.85) − Φ(−1.2) = 0.9678 − 0.1151 = 0.8528

答え

P = 0.8528

30.正規分布

答え: x = 166.5 cm

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.05

表からの z

z ≈ −1.64

元の単位に戻す

x = 178 − 1.64·7 = 166.5 cm

答え

x = 166.5 cm

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