FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 10 mP₁ = 45 kN 位置 1 mP₂ = 10 kN 位置 5 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 10 mP = 35 kN 位置 2 mw = 10 kN/m（0 から 1 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

D: 20 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 40 kN ↓C: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 10 kN ↓H: 35 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 5 m の断面におけるせん断力 V_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 4 kN/m（0 から 6 m まで）x = 5 m

V_x = kN

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 20 kN 位置 4 mw = 4 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θ_A をラジアンで求めよ。

w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりの支点 B から b = 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。はりの最大たわみ δ_max を求めよ。

P = 9 kNb = 3 mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 65 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 65 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

100 mm × 200 mm の板に、幅 30 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 140 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 30 × 20 mm穴の中心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 5.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 2 m の過圧密粘土層の C_c = 0.35、C_r = 0.02、e₀ = 0.7 である。中央深さでの有効鉛直応力は 105 kPa であり、圧密降伏応力は 225 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 75 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 2 mC_c = 0.35C_r = 0.02e₀ = 0.7σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 225 kPaΔσ = 75 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 25 mm の粘土供試体が 8 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 7 m の層をなしている。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 25 mmt_lab = 8 minH = 7 m現場：両面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 300 m、内径 200 mm の水平管内を 2.8 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.8 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 20 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形の芝で覆われた土の水路の底幅は 6 m、側面勾配は 2:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.2 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 6 my = 1.2 mz = 2n = 0.03S = 0.002

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 6 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、水深 2.2 m の等流で 67 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 67 m³/sb = 6 my = 2.2 mz = 1.5n = 0.025

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 75% のポンプが揚程 28 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 60 L/sH = 28 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 120 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 82% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4%、四半期複利で €3 000 を投資します。9 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €3 0004% / 4n = 9

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

年 4.2%、月複利で €12 000 を借り、毎月末に €225 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €12 000A = €2254.2% / 12

N = 回

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。1 年目の末に €26 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 1% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €200 000CF₁ = €26 000g = 1%r = 12%

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €7 500, €7 000, €7 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 34.5 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34.5 min

P =

30.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 178σ = 7P = 97.5%

x = cm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 45.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·1 + 10·5

R_B = 95/10 = 9.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 9.5 = 45.5 kN

答え

R_A = 45.5 kN

2.はりの支点反力

答え: R_B = 7.5 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN、作用点 x̄ = 0.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·2 + 10·1·0.5

R_B = 75/10 = 7.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 7.5 = 37.5 kN

答え

R_B = 7.5 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 5 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 5 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 7.071 kN (C), HE: 21.21 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 7.071 kN (C), DG: 7.071 kN (T)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: 部材 DH

節点 D

CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 50 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 120.2 kN (C), HE: 42.43 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 14.14 kN (T), HC: 42.43 kN (T)

答え

ゼロ部材: DH

5.せん断力と曲げモーメント

答え: V_x = −8 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

x = 5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = R_A − （切断面より左の下向き荷重すべて）

V_x = 12 − 4·5 = −8 kN

答え

V_x = −8 kN

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 42.67 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·4 + 4·6·3

R_B = 152/6 = 25.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 25.33 = 18.67 kN

x = 4 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 18.67·4 − 4·4·2 = 42.67 kN·m

答え

M_x = 42.67 kN·m

7.はりのたわみ

答え: θ_A = 0.003971 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

端部のたわみ角

θ_A = wL³/(24EI) = 6·3000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.003971 rad

答え

θ_A = 0.003971 rad

これは 0.2275° です。

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 12.27 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 9000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3000²)/3) = 4282 mm

最大たわみ

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 12.27 mm

答え

δ_max = 12.27 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 410 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1750² = 410042 N = 410 kN

答え

P_cr = 410 kN

10.柱の座屈

答え: d = 56.95 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 56.95 mm

答え

d = 56.95 mm

確認：細長比 KL/r は 196.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 94.9 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

ウェブ: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·290 + 5600·140)/10400 = 209.2 mm

平行軸の定理

フランジ: 240·20³/12 + 4800·(290 − 209.2)² = 3.147 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 20·280³/12 + 5600·(140 − 209.2)² = 6.343 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.147 × 10⁷ + 6.343 × 10⁷ = 9.49 × 10⁷ mm⁴ = 94.9 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 94.9 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 65.66 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (20000·100 − 600·140)/(20000 − 600) = 98.76 mm

ȳ まわりの全体の板

100·200³/12 + 20000·1.237² = 66.7 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·20³/12 + 600·41.24² = 1.04 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 65.66 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 65.66 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 80.83 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·1 + 19·7 = 149.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·7 = 68.67 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 149.5 − 68.67 = 80.83 kPa

答え

σ′ = 80.83 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 100 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 17·1 + 19·2 + 18·2.5 = 100 kPa

答え

σ = 100 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 5.508 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 105 + 75 = 180 kPa ≤ 225 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·2/(1 + 0.7)·log₁₀(180/105) = 5.508 mm

答え

S = 5.508 mm

16.圧密沈下

答え: t = 435.6 日

排水距離

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 7/2 = 3.5 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 8·(3.5/0.0125)² = 627200 min

t_field = 627200/1440 = 435.6 日

答え

t = 435.6 日

17.静水圧

答え: F = 49.05 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

答え

F = 49.05 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 5.067 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·4 = 196.2 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5 + 1.333/(5·4) = 5.067 m

答え

y_cp = 5.067 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 176.4 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(300/0.2)·2.8²/(2·9.81) = 17.98 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·17.98 = 176400 Pa = 176.4 kPa

答え

Δp = 176.4 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 10.15 m

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失係数

f·L/D = 0.018·100/0.1 = 18

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

全損失水頭

h_f = 18·0.3305 = 5.949 m

h_m = 12.7·0.3305 = 4.197 m

Δz = h_f + h_m = 10.15 m

答え

Δz = 10.15 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 13.87 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·1.2)·1.2 = 10.08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1.2·√(1 + 2²) = 11.37 m

R = A/P = 0.8868 m

速度

V = (1/0.03)·0.8868^2/3·0.002^1/2 = 1.376 m/s

流量

Q = A·V = 10.08·1.376 = 13.87 m³/s

答え

Q = 13.87 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.004015 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (6 + 1.5·2.2)·2.2 = 20.46 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2.2·√(1 + 1.5²) = 13.93 m

R = A/P = 1.469 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·67/(20.46·1.292) = 0.06337

S = 0.06337² = 0.004015

答え

S = 0.004015

これは 1 km あたり 4.015 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 21.97 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·28 = 16.48 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 16.48/0.75 = 21.97 kW

答え

P_shaft = 21.97 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 15.96 kW

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8.8 + 8)·0.3046 = 5.117 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 6 + 5.117 = 11.12 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·11.12/0.82 = 15.96 kW

答え

P_shaft = 15.96 kW

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 4292 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.04/4 = 0.01

N = m·n = 4·9 = 36

将来価値

FV = 3 000·(1 + 0.01)³⁶ = 3 000·1.431 = €4 292.31

答え

FV = €4 292.31

26.貨幣の時間価値

答え: N = 60 回

年金の公式を変形する

i = 0.0035

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0.0035/225 = 0.8133

対数を使って解く

N = −ln(0.8133)/ln(1.004) = 59.14

返済回数を整数に切り上げる

59 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 60

答え

N = 60 回

27.NPV と IRR

答え: NPV = 36364 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 26 000/(0.12 − 0.01) = 236 363.64

NPV

NPV = 236 363.64 − 200 000 = €36 363.64

答え

NPV = €36 363.64

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 51.62 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(50%) = 185.19

NPV(55%) = −367.90

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 50 + 5·185.19/(185.19 − (−367.90)) = 51.67%

正確な値: NPV(51.62%) = 0 → IRR = 51.62%

答え

IRR = 51.62%

29.正規分布

答え: P = 0.1587

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

標準化する

z = (34.5 − 32)/2.5 = 1

上側確率

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答え

P = 0.1587

30.正規分布

答え: x = 191.7 cm

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

x に戻す

x = 178 + 1.96·7 = 191.72 cm

答え

x = 191.72 cm

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