はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
FE Civil 試験対策：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
地盤の有効応力
- 全応力
- σ = Σγi·hi
- 間隙水圧
- u = γw·(z − zw)
- 有効応力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
圧密沈下
- 正規圧密
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最終応力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 過圧密、σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 過圧密、σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 過圧密比
- OCR = σ′p/σ′0
- 圧密時間
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水距離
- Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
- 時間係数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁から 6 m まで等分布荷重 w が作用し、壁から 6 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。
L = 8 mP = 55 kN 位置 6 mw = 2 kN/m（0 から 6 m まで）
MA = kN·m
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 4 mP = 15 kN 位置 1.5 mw = 8 kN/m（2 から 3 m まで）
RA = kN
3.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 35 kN
FAC = kN
4.トラス：節点法むずかしい
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 10 kN ↓D: 25 kN ↓F: 10 kN →G: 35 kN ↓H: 25 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 2.5 mP = 50 kN 位置 1 mw = 8 kN/m（0 から 2.5 m まで）
MA = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 20 kN 位置 3.5 mw = 5 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
7.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
σcr = MPa
11.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm × 240 mm の板に、幅 80 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 72 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 240 mm切り欠き: 80 × 20 mm穴の中心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力ふつう
図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。
z = 4 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
σ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。
z = 8.5 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³粘土: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.圧密沈下ふつう
厚さ 7 m の過圧密粘土層の Cc = 0.3、Cr = 0.06、e₀ = 0.75 である。中央深さでの有効鉛直応力は 50 kPa であり、 過圧密比は OCR = 2.5 である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 90 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。
H = 7 mCc = 0.3Cr = 0.06e0 = 0.75σ′0 = 50 kPaOCR = 2.5Δσ = 90 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
厚さ 5 m の粘土層の圧密係数は cv = 0.8 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。 平均圧密度 60% に対する時間係数は Tv = 0.287 である。この層が圧密度 60% に達するまでに何年 t かかるか。
H = 5 mcv = 0.8 m²/年度U = 60%Tv = 0.287両面排水
t = 年
17.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 100 m、内径 50 mm の水平管内を 2.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 2.4 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 150 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 60 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10
H = m
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
内径 450 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
D = 450 mmn = 0.013S = 0.003
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 200 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 200 mmn = 0.013V = 0.6 m/s
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 16 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送り、そのとき軸動力は 29.4 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 150 L/sH = 16 mPshaft = 29.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 2（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 100 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 2ptank = 100 kPa
H = m
25.貨幣の時間価値ふつう
7 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 2%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €50 0002% / 12n = 7
PV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 の住宅ローンを、年 2.4%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。5 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €150 0002.4% / 12N = 360k = 60
B = €
27.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€27 000, €16 000, €12 000, €19 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −60 000CF1 = 27 000CF2 = 16 000CF3 = 12 000CF4 = 19 000
NPV = €
28.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €15 000, €14 000, €14 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 14 000CF3 = 14 000
IRR = %
29.正規分布ふつう
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。167.15 から 181.85 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 178σ = 7x1 = 167.15x2 = 181.85
P =
30.正規分布むずかしい
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
3溶液
1.はりの支点反力
答え: MA = 366 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
分布荷重の合力
W = 2·6 = 12 kN, x̄ = 3 m
壁まわりのモーメント
MA = P·a + W·x̄ = 55·6 + 12·3 = 366 kN·m
答え
MA = 366 kN·m
2.はりの支点反力
答え: RA = 12.38 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1.5 + 8·1·2.5
RB = 42.5/4 = 10.63 kN
ΣFy = 0: RA = 23 − 10.63 = 12.38 kN
答え
RA = 12.38 kN
3.トラス：節点法
答え: FAC = 26.25 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·6 → Cy = 26.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26.25 = 8.75 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −26.25/0.7071 = −37.12 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−37.12)·0.7071 = 26.25 kN
答え
FAC = 26.25 kN (引張)
4.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 45 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 49.5 kN (C), HE: 84.85 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), BG: 35.36 kN (C), DG: 14.14 kN (C)
答え
ゼロ部材: CG
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MA = −75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −50·1 = −50 kN·m
w: −8·2.5²/2 = −25 kN·m
MA = −50 − 25 = −75 kN·m
答え
MA = −75 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 34.13 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·3.5 + 5·5·2.5
RB = 132.5/5 = 26.5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 26.5 = 18.5 kN
x = 3.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 18.5·3.5 − 5·3.5·1.75 = 34.13 kN·m
答え
Mx = 34.13 kN·m
7.はりのたわみ
答え: δ = 17.61 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·4.6 × 10¹²) = 17.61 mm
答え
δ = 17.61 mm
8.はりのたわみ
答え: Ireq = 30.38 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·6000⁴/(384·200000·16.67) = 3.038 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 30.38 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 30.38 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈
答え: Pcr = 83.93 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1750² = 83925 N = 83.93 kN
答え
Pcr = 83.93 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 8.567 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
答え
σcr = 8.567 MPa
11.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 13.79 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 140 + 25/2 = 152.5 mm
ウェブ: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6500·152.5 + 1960·70)/8460 = 133.4 mm
平行軸の定理
フランジ: 260·25³/12 + 6500·(152.5 − 133.4)² = 2.713 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 14·140³/12 + 1960·(70 − 133.4)² = 1.108 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.713 × 10⁶ + 1.108 × 10⁷ = 1.379 × 10⁷ mm⁴ = 13.79 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 13.79 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 168.9 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (36000·120 − 1600·72)/(36000 − 1600) = 122.2 mm
ȳ まわりの全体の板
150·240³/12 + 36000·−2.233² = 173 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
80·20³/12 + 1600·−50.23² = 4.091 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 168.9 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 168.9 × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力
答え: σ = 73 kPa
有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。
全応力
X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·2 + 20.5·2 = 73 kPa
答え
σ = 73 kPa
14.地盤の有効応力
答え: σ′ = 97.29 kPa
有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。
全応力
X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。
σ = γd·3 + γsat,sand·3 + γsat,clay·2.5
σ = 16·3 + 19·3 + 18.5·2.5 = 151.3 kPa
間隙水圧
水圧は地下水位からの深さとともに増えます。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa
有効応力
σ′ = σ − u = 151.3 − 53.96 = 97.29 kPa
答え
σ′ = 97.29 kPa
15.圧密沈下
答え: S = 154.6 mm
厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。
圧密降伏応力
σ′p = OCR·σ′0 = 2.5·50 = 125 kPa
圧密降伏応力と比べる
σ′f = 50 + 90 = 140 kPa > 125 kPa
沈下量
σ′p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。
S = 0.06·7/(1 + 0.75)·log₁₀(125/50) + 0.3·7/(1 + 0.75)·log₁₀(140/125)
S = 95.51 + 59.06 = 154.6 mm
答え
S = 154.6 mm
16.圧密沈下
答え: t = 2.242 年
厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。
排水距離
Hdr = H/2 = 5/2 = 2.5 m
時間
t = Tv·Hdr²/cv = 0.287·2.5²/0.8 = 2.242 年
答え
t = 2.242 年
17.静水圧
答え: F = 101.2 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN
答え
F = 101.2 kN
18.静水圧
答え: F = 49.44 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·2 = 49.44 kN
答え
F = 49.44 kN
19.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 86.4 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(100/0.05)·2.4²/(2·9.81) = 8.807 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·8.807 = 86400 Pa = 86.4 kPa
答え
Δp = 86.4 kPa
20.管摩擦と損失水頭
答え: H = 1.927 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.06/0.04909 = 1.222 m/s
V²/(2g) = 0.07615 m
損失係数
f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 13.2 + 11.1)·0.07615 = 1.927 m
答え
H = 1.927 m
21.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 0.07808 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = 0.07952 m², R = D/4 = 0.1125 m
速度
V = (1/0.013)·0.11252/3·0.0031/2 = 0.9819 m/s
流量
Q = A·V = 0.07952·0.9819 = 0.07808 m³/s
答え
Q = 0.07808 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.003303 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.6/0.1357)² = 0.003303
答え
S = 0.003303
これは 1 km あたり 3.303 m の落差です。
23.ポンプとポンプ動力
答え: η = 80.08 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·16 = 23.54 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 23.54/29.4 = 80.08%
答え
η = 80.08%
24.ポンプとポンプ動力
答え: H = 19.39 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 2)·0.2905 = 3.195 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 10.19 + 3.195 = 19.39 m
答え
H = 19.39 m
25.貨幣の時間価値
答え: PV = 43473 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.02/12 = 0.001667
N = 12·7 = 84
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.15 = €43 472.98
答え
PV = €43 472.98
26.貨幣の時間価値
答え: B = 131857 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.002, N = 360
A = 150 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)−360) = €584.91
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 360 − 60 = 300
B = 584.9·(1 − (1 + 0.002)−300)/0.002 = €131 856.55
答え
B = €131 856.55
27.NPV と IRR
答え: NPV = −2522 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 27 000/1.12 = 24 107.14
CF2/(1 + 0.12)2 = 16 000/1.254 = 12 755.10
CF3/(1 + 0.12)3 = 12 000/1.405 = 8 541.36
CF4/(1 + 0.12)4 = 19 000/1.574 = 12 074.84
合計する
NPV = €−2 521.55
答え
NPV = €−2 521.55
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
28.NPV と IRR
答え: IRR = 33.43 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 1 194.81
NPV(35%) = −516.94
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·1 194.81/(1 194.81 − (−516.94)) = 33.49%
正確な値: NPV(33.43%) = 0 → IRR = 33.43%
答え
IRR = 33.43%
29.正規分布
答え: P = 0.6483
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (167.15 − 178)/7 = −1.55
z₂ = (181.85 − 178)/7 = 0.55
間の面積
P = Φ(0.55) − Φ(−1.55) = 0.7088 − 0.06057 = 0.6483
答え
P = 0.6483
30.正規分布
答え: x = 551.3 h
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
x に戻す
x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h
答え
x = 551.26 h
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