FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値
FV = PV·(1 + i)n
現在価値
PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間
i = r/m, N = m·n
年金現価
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金終価
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

解き方

  1. すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
  2. 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
  3. 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
  4. 答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
均等なキャッシュフロー
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部収益率
NPV = 0 となる r
判断
NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

  1. すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
  2. 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
  3. それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
  4. IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​4 m1 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP1 = 55 kN 位置 4 mP2 = 10 kN 位置 5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 75 kN, 50°Q = 25 kNABRA​ = ?4 m4 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 4 m の位置に水平と 50° をなす荷重 P が、A から 8 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。

L = 10 mP = 75 kN 位置 4 m, θ = 50°Q = 25 kN 位置 8 m
RA = kN
3.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB45 kN6 m1 m2 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 45 kN
FAB = kN
4.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB45 kN25 kN5 m3 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 25 kN ←
FAB = kN
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 5 kN/mAB断面7.5 m2.5 m

支点 A から x = 7.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 5 kN/m（0 から 10 m まで）x = 7.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mABC8 m1.5 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 9.5 mw = 5 kN/m（0 から 9.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
MB = kN·m
7.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mδL = 3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 2 kN/mδL = 4 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 md = 25 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
11.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm200 mm60 mmØ60xIx​ = ?

150 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 60 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mm穴の中心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm200 mm60 mm40 × 50xIx​ = ?

120 mm × 200 mm の板に、幅 40 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 60 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 200 mm切り欠き: 40 × 50 mm穴の中心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³12 m地下水位Xz = 5 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 5 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³
σ′ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 15 kN/m³γsat​ = 18.5 kN/m³6 m粘土γsat​ = 17 kN/m³8 m地下水位Xz = 10 m

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 10 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³粘土: γsat = 17 kN/m³
u = kPa
15.圧密沈下ふつう
Δσ = 25 kPa砂粘土Cc​ = 0.2, Cr​ = 0.03e0​ = 1.2σ′0​ = 40 kPaσ′p​ = 80 kPa8 m地下水位

厚さ 8 m の過圧密粘土層の Cc = 0.2、Cr = 0.03、e₀ = 1.2 である。中央深さでの有効鉛直応力は 40 kPa であり、 圧密降伏応力は 80 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 25 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 8 mCc = 0.2Cr = 0.03e0 = 1.2σ′0 = 40 kPaσ′p = 80 kPaΔσ = 25 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 3 m3 m不透水性の岩盤地下水位

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 19 mm の粘土供試体が 6 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 3 m の層をなしている。 不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。 現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

hlab = 19 mmtlab = 6 minH = 3 m現場：片面排水
t = 日
17.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 2.5 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
ゲートd = 1 mH = 3 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 5 L/sD = 50 mmL = 50 mf = 0.03

水が、長さ 50 m、内径 50 mm の管内を 5 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 5 L/sL = 50 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10自由放出口H = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0.0253× 曲がり (K = 0.3)

長さ 150 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 100 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 100 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10
H = m
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
b = 5.5 my = 2.5 m1.5 : 1n = 0.03, S = 0.0008

台形の芝で覆われた土の水路の底幅は 5.5 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 2.5 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 5.5 my = 2.5 mz = 1.5n = 0.03S = 0.0008
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 3 my = 0.9 m1.5 : 1n = 0.012, Q = 7.6 m³/s

底幅 3 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形の仕上げたコンクリートの水路は、 水深 0.9 m の等流で 7.6 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.012。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 7.6 m³/sb = 3 my = 0.9 mz = 1.5n = 0.012
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 50 L/sH = 42 m

ポンプが揚程 42 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 50 L/s 送っている。ポンプ効率は 85%、これを駆動する電動機の効率は 90% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 50 L/sH = 42 mηpump = 85%ηmotor = 90%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 100 L/sΔz = 15 mL = 150 m, D = 250 mm, f = 0.022, ΣK = 8

ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 15 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 100 L/sΔz = 15 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 8
H = m
25.貨幣の時間価値ふつう
年0123…9PV = ?€6 000+4%+4%…r = 10%

ある不動産は来年 €6 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 4% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 10% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C1 = €6 000g = 4%r = 10%
PV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
年0123…18€5 000€5 000€5 000FV = ?

18 年間、毎年初めに €5 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 8% です。18 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €5 000i = 8%n = 18
FV = €
27.NPV と IRRふつう
年0123−75 00025 00015 00018 000

€75 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€25 000, €15 000, €18 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF0 = −75 000CF1 = 25 000CF2 = 15 000CF3 = 18 000
NPV = €
28.NPV と IRRむずかしい
年01234−100 00025 000+2%+2%+2%r = 12%, NPV = ?

あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €25 000 で、4 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C0 = €100 000CF1 = €25 000g = 2%n = 4r = 12%
NPV = €
29.正規分布ふつう
178185P = ?

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。178 から 185 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 178σ = 7x1 = 178x2 = 185
P =
30.正規分布むずかしい
μ = 100x = ?97.5%

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 97.5%
x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 20 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​4 m1 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 55·4 + 10·5
RB = 270/6 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 45 = 20 kN

答え

RA = 20 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 62.31 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 75·sin 50° = 57.45 kN
Ph = 75·cos 50° = 48.21 kN

反力

ΣMA = 0: RB·10 = 57.45·4 + 25·8 → RB = 42.98 kN
Ay = 57.45 + 25 − 42.98 = 39.47 kN
Ax = Ph = 48.21 kN

A での合力

RA = √(48.21² + 39.47²) = 62.31 kN

答え

RA = 62.31 kN
3.トラス：節点法

答え: FAB = −41.93 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·1 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 7.5 = 37.5 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −37.5/0.8944 = −41.93 kN

答え

FAB = −41.93 kN (圧縮)
4.トラス：節点法

答え: FAB = −47.5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·3 − 25·4 → Cy = 7 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 7 = 38 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −38/0.8 = −47.5 kN

答え

FAB = −47.5 kN (圧縮)
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 46.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25断面7.5 m2.5 m

x = 7.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 25·7.5 − 5·7.5·3.75 = 46.88 kN·m

答え

Mx = 46.88 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: MB = −5.625 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·9.5 = 47.5 kN、作用点 x̄ = 4.75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·9.5·4.75
RB = 225.6/8 = 28.2 kN
ΣFy = 0: RA = 47.5 − 28.2 = 19.3 kN

B で切断し、張出し部を残す

張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。

MB = −w·a²/2 = −5·1.5²/2 = −5.625 kN·m

答え

MB = −5.625 kN·m
7.はりのたわみ

答え: δmax = 9.131 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 9.131 mm

答え

δmax = 9.131 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 3 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4000⁴/(384·200000·11.11) = 3 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 3 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 37.85 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37.85 kN

答え

Pcr = 37.85 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 7.896 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/10 = 500

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa

答え

σcr = 7.896 MPa
11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 94.37 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·100 − 2827·60)/(30000 − 2827) = 104.2 mm

ȳ まわりの全体の板

150·200³/12 + 30000·−4.162² = 100.5 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·−44.16² = 6.151 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 94.37 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 94.37 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 76.09 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·100 − 2000·60)/(24000 − 2000) = 103.6 mm

ȳ まわりの全体の板

120·200³/12 + 24000·−3.636² = 80.32 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·50³/12 + 2000·−43.64² = 4.225 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 76.09 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 76.09 × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 69.88 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·3 + 20·2 = 89.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·2 = 19.62 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 89.5 − 19.62 = 69.88 kPa

答え

σ′ = 69.88 kPa
14.地盤の有効応力

答え: u = 68.67 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·7 = 68.67 kPa

答え

u = 68.67 kPa
15.圧密沈下

答え: S = 23 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 40 + 25 = 65 kPa ≤ 80 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.03·8/(1 + 1.2)·log₁₀(65/40) = 23 mm

答え

S = 23 mm
16.圧密沈下

答え: t = 415.5 日

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m
Hdr,field = 3 m

時間を換算する

t = Tv·Hdr²/cv。T_v と cv は室内と現場で同じです。

tfield = 6·(3/0.0095)² = 598338 min
tfield = 598338/1440 = 415.5 日

答え

t = 415.5 日
17.静水圧

答え: F = 239.1 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
ゲートd = 2 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN

答え

F = 239.1 kN
18.静水圧

答え: F = 113.1 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
ゲートd = 1 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.5·4.5 = 113.1 kN

答え

F = 113.1 kN
19.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 9.915 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.005/0.001963 = 2.546 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 2.546²/(2·9.81) = 0.3305 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(50/0.05)·2.546²/(2·9.81) = 9.915 m

答え

hf = 9.915 m
20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 2.54 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m

損失係数

f·L/D = 0.025·150/0.3 = 12.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 12.5 + 11.4)·0.102 = 2.54 m

答え

H = 2.54 m
21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 29.74 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1.5·2.5)·2.5 = 23.13 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·2.5·√(1 + 1.5²) = 14.51 m
R = A/P = 1.593 m

速度

V = (1/0.03)·1.5932/3·0.00081/2 = 1.286 m/s

流量

Q = A·V = 23.13·1.286 = 29.74 m³/s

答え

Q = 29.74 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001011 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·0.9)·0.9 = 3.915 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0.9·√(1 + 1.5²) = 6.245 m
R = A/P = 0.6269 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·7.6/(3.915·0.7325) = 0.0318
S = 0.0318² = 0.001011

答え

S = 0.001011

これは 1 km あたり 1.011 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 26.93 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·42 = 20.6 kW

軸動力

Pshaft = 20.6/0.85 = 24.24 kW

電力

Pel = 24.24/0.9 = 26.93 kW

答え

Pel = 26.93 kW
24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 19.48 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13.2 + 8)·0.2115 = 4.484 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + hL = 15 + 4.484 = 19.48 m

答え

H = 19.48 m
25.貨幣の時間価値

答え: PV = 100000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C1/(r − g) = 6 000/(0.1 − 0.04) = 6 000/0.06 = €100 000.00

答え

PV = €100 000.00
26.貨幣の時間価値

答え: FV = 202231 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

通常の年金係数

((1 + 0.08)18 − 1)/0.08 = 37.45

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 5 000·37.45·1.08 = €202 231.32

答え

FV = €202 231.32
27.NPV と IRR

答え: NPV = −27909 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 25 000/1.12 = 22 321.43
CF2/(1 + 0.12)2 = 15 000/1.254 = 11 957.91
CF3/(1 + 0.12)3 = 18 000/1.405 = 12 812.04

合計する

NPV = €−27 908.62

答え

NPV = €−27 908.62

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

28.NPV と IRR

答え: NPV = −21976 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

成長型年金の現在価値

((1.02)/(1.12))4 = 0.6879
PV = 25 000/(0.12 − 0.02)·(1 − 0.6879) = 78 023.70

NPV

NPV = 78 023.70 − 100 000 = −€21 976.30

答え

NPV = −€21 976.30

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

29.正規分布

答え: P = 0.3413

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (178 − 178)/7 = 0
z₂ = (185 − 178)/7 = 1

間の面積

P = Φ(1) − Φ(0) = 0.8413 − 0.5 = 0.3413

答え

P = 0.3413
30.正規分布

答え: x = 129.4 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

x に戻す

x = 100 + 1.96·15 = 129.4 点

答え

x = 129.4 点

これは独自の練習教材です。ExamProblems はこの試験を実施する団体とは提携しておらず、その承認も受けていません。試験名は内容を説明するためにのみ使用しています。 FE examはNCEESが実施する試験です。同団体はExamProblemsと提携しておらず、推奨もしていません。

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil