FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 5 mP₁ = 20 kN 位置 1 mP₂ = 50 kN 位置 2.5 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 5 mP = 35 kN 位置 2 mw = 5 kN/m（2 から 3 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 35 kN ↓G: 15 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 15 kN ←

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

15 kN @ 10 m45 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 8 mP = 40 kN 位置 7 mw = 12 kN/m（0 から 8 m まで）

M_max = kN·m

7.はりのたわみふつう

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δ_P を求めよ。

P = 14 kNa = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.はりのたわみむずかしい

幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ h_req を求めよ。

w = 1.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm

h_req = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 115 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

溶接 I 形断面は、上フランジ 140 × 24 mm、高さ 200 mm・厚さ 14 mm のウェブ、下フランジ 210 × 22 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

上フランジ: 140 × 24 mmウェブ: 14 × 200 mm下フランジ: 210 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³粘土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 3.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.25、C_r = 0.04、e₀ = 1.05 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、圧密降伏応力は 170 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 170 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 3.5 mC_c = 0.25C_r = 0.04e₀ = 1.05σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 170 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 4 m の粘土層の圧密係数は c_v = 3 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 50% に対する時間係数は T_v = 0.197 である。この層が圧密度 50% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 4 mc_v = 3 m²/年度U = 50%T_v = 0.197両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 150 m、内径 300 mm の管内を 60 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 60 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 40 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 40 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形の仕上げたコンクリートの水路の底幅は 2 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.4 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.012、水路床勾配は S = 0.004 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2 my = 1.4 mz = 1.5n = 0.012S = 0.004

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 300 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 300 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 72% のポンプが揚程 76 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 50 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 50 L/sH = 76 mη = 72%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 600 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 600 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 6

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €2 000 を 18 年間支払います。利率は年 10% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €2 000i = 10%n = 18

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€250 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €250 0003% / 12N = 300

A = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、1 年目から 6 年目の各年末に €12 500, €10 500, €13 000, €10 500, €10 500, €9 500 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 500CF₂ = 10 500CF₃ = 13 000CF₄ = 10 500CF₅ = 10 500CF₆ = 9 500

DPB = 年

28.NPV と IRRむずかしい

€40 000 の投資が 6 年間、毎年末に €10 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

C₀ = €40 000CF = €10 500n = 6

IRR = %

29.正規分布ふつう

X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 754.9 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754.9 g

P =

30.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 65σ = 10P = 5%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 41 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1 + 50·2.5

R_B = 145/5 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 29 = 41 kN

答え

R_A = 41 kN

2.はりの支点反力

答え: R_B = 16.5 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 5·1·2.5

R_B = 82.5/5 = 16.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 16.5 = 23.5 kN

答え

R_B = 16.5 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 33.75 kN (T), BC: 32.5 kN (T), CD: 32.5 kN (T), DE: 16.25 kN (T), FG: 33.75 kN (C), GH: 16.25 kN (C), AF: 47.73 kN (C), HE: 22.98 kN (C), BF: 33.75 kN (T), CG: 0, DH: 16.25 kN (T), BG: 1.768 kN (T), DG: 22.98 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −24.24 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·4 − 15·3 → C_y = 23 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 23 = 17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −23/0.9487 = −24.24 kN

答え

F_BC = −24.24 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 40 kN, R₂ = 20 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 80 kN·m, M_C = 70, M_D = 60, M_E = 50, M_F = 40, M_G = 0

答え

点 B: M_B = 80 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 117 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN、作用点 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·7 + 12·8·4

R_B = 664/8 = 83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 136 − 83 = 53 kN

V = 0 となるのはどこですか？

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 53/12 = 4.417 m

最大モーメント

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 53·4.417 − 12·4.417²/2 = 117 kN·m

答え

M_max = 117 kN·m

それは A から x = 4.417 m の位置に生じます。

7.はりのたわみ

答え: δ_P = 2.745 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 14000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δ_P = Pa³/(3EI) = 14000·1000³/(3·1.7 × 10¹²) = 2.745 mm

答え

δ_P = 2.745 mm

8.はりのたわみ

答え: h_req = 167 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

必要な断面二次モーメント

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·4500⁴/(384·11000·15) = 4.854 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = I_req → h = (12·4.854 × 10⁷/125)^1/3 = 167 mm

答え

h_req = 167 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: P_cr = 12.56 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12.56 kN

答え

P_cr = 12.56 kN

10.柱の座屈

答え: d = 77.65 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·115000 = 287500 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 77.65 mm

答え

d = 77.65 mm

確認：細長比 KL/r は 180.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 60.91 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

ウェブ: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·265 + 5200·130)/7800 = 175 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·10³/12 + 2600·(265 − 175)² = 2.108 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 20·260³/12 + 5200·(130 − 175)² = 3.982 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.108 × 10⁷ + 3.982 × 10⁷ = 6.09 × 10⁷ mm⁴ = 60.91 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 60.91 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 107 × 10⁶ mm⁴

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 3360 mm², y = 234 mm

ウェブ: A = 2800 mm², y = 122 mm

下フランジ: A = 4620 mm², y = 11 mm

図心

ȳ = (3360·234 + 2800·122 + 4620·11)/10780 = 109.3 mm

平行軸の定理

上フランジ: 140·24³/12 + 3360·124.7² = 5.238 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 14·200³/12 + 2800·12.66² = 9.782 × 10⁶ mm⁴

下フランジ: 210·22³/12 + 4620·98.34² = 4.486 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.238 × 10⁷ + 9.782 × 10⁶ + 4.486 × 10⁷

I_x = 1.07 × 10⁸ mm⁴ = 107 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 107 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 79.64 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·1 + 20.5·6 = 138.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 138.5 − 58.86 = 79.64 kPa

答え

σ′ = 79.64 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 160.5 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 15.5·3 + 20·3 + 18·3 = 160.5 kPa

答え

σ = 160.5 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 97.62 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 170 = 260 kPa > 170 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.04·3.5/(1 + 1.05)·log₁₀(170/90) + 0.25·3.5/(1 + 1.05)·log₁₀(260/170)

S = 18.86 + 78.76 = 97.62 mm

答え

S = 97.62 mm

16.圧密沈下

答え: t = 0.2627 年

排水距離

H_dr = H/2 = 4/2 = 2 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·2²/3 = 0.2627 年

答え

t = 0.2627 年

17.静水圧

答え: F = 39.24 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN

答え

F = 39.24 kN

18.静水圧

答え: F = 271.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·9 = 271.5 kN

答え

F = 271.5 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 0.3305 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.06/0.07069 = 0.8488 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 0.8488²/(2·9.81) = 0.03672 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(150/0.3)·0.8488²/(2·9.81) = 0.3305 m

答え

h_f = 0.3305 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 3.503 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

損失係数

f·L/D = 0.02·300/0.2 = 30

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

全損失水頭

h_f = 30·0.08263 = 2.479 m

h_m = 12.4·0.08263 = 1.025 m

Δz = h_f + h_m = 3.503 m

答え

Δz = 3.503 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 26.38 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2 + 1.5·1.4)·1.4 = 5.74 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1.4·√(1 + 1.5²) = 7.048 m

R = A/P = 0.8144 m

速度

V = (1/0.012)·0.8144^2/3·0.004^1/2 = 4.596 m/s

流量

Q = A·V = 5.74·4.596 = 26.38 m³/s

答え

Q = 26.38 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001924 m/m

径深

R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.1778)² = 0.001924

答え

S = 0.001924

これは 1 km あたり 1.924 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 51.77 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·76 = 37.28 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 37.28/0.72 = 51.77 kW

答え

P_shaft = 51.77 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 42.09 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (80 + 6)·0.408 = 35.09 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 7 + 35.09 = 42.09 m

答え

H = 42.09 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 16403 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.1799)/0.1 = 8.201

現在価値

PV = 2 000·8.201 = €16 402.82

答え

PV = €16 402.82

26.貨幣の時間価値

答え: A = 1186 €

月利と返済回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·25 = 300

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.4728

A = 250 000·0.0025/(1 − 0.4728) = €1 185.53

答え

A = €1 185.53

27.NPV と IRR

答え: DPB = 3.182 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 12 500/1.12 = 11 160.71 → Σ = 11 160.71

年度 2: 10 500/1.254 = 8 370.54 → Σ = 19 531.25

年度 3: 13 000/1.405 = 9 253.14 → Σ = 28 784.39

年度 4: 10 500/1.574 = 6 672.94 → Σ = 35 457.33

最後の年の端数

DPB = 3 + 1 215.61/6 672.94 = 3.182

答え

DPB = 3.182 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（2.538 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 14.76 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

必要な年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 40 000/10 500 = 3.81

利率について解く

利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。

i = 14%: 3.889

i = 15%: 3.784

IRR = 14.76%

答え

IRR = 14.76%

29.正規分布

答え: P = 0.3085

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

標準化する

z = (754.9 − 750)/9.849 = 0.5

上側確率

P = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085

答え

P = 0.3085

30.正規分布

答え: x = 48.55 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

x に戻す

x = 65 + −1.645·10 = 48.55 点

答え

x = 48.55 点

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