FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 6 mP₁ = 45 kN 位置 2.5 mP₂ = 55 kN 位置 4.5 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

はりは A でピン支点、A から 3 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用し、3 m から 4 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_B を求めよ。

AB = 3 mAC = 4 mP = 40 kN 位置 1 mw = 2 kN/m（3 から 4 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

F: 35 kN ↓G: 25 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 15 kN →

F_AC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 2 m の断面におけるせん断力 V_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 5 kN/m（0 から 6 m まで）x = 2 m

V_x = kN

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 12 m15 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θ_A をラジアンで求めよ。

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.はりのたわみむずかしい

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。固定端における曲げモーメントの大きさ M_A を求めよ。

L = 4 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 15 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_上端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 10 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 2 m の過圧密粘土層の C_c = 0.35、C_r = 0.03、e₀ = 0.75 である。中央深さでの有効鉛直応力は 45 kPa であり、過圧密比は OCR = 2.5 である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 20 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 2 mC_c = 0.35C_r = 0.03e₀ = 0.75σ′₀ = 45 kPaOCR = 2.5Δσ = 20 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 4 m の粘土層の圧密係数は c_v = 1.5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 90% に対する時間係数は T_v = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 4 mc_v = 1.5 m²/年度U = 90%T_v = 0.848両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 400 m、内径 250 mm の水平管内を 1.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.4 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 150 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 50 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形のれんが積みの水路の底幅は 6 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.3 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.015、水路床勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 6 my = 1.3 mz = 1.5n = 0.015S = 0.001

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 1 m の長方形の仕上げのないコンクリートの水路は、水深 2.4 m の等流で 4.3 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.014。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 4.3 m³/sb = 1 my = 2.4 mn = 0.014

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 24 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 25 L/s 送っている。ポンプ効率は 70%、これを駆動する電動機の効率は 90% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 25 L/sH = 24 mη_pump = 70%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 15 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 350 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 15 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 5p_tank = 350 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €2 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 3% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €2 000g = 3%r = 5%

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

26 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 2.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €3002.4% / 12N = 312

FV = €

27.NPV と IRRふつう

€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€10 000, €8 000, €6 000, €13 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 8 000CF₃ = 6 000CF₄ = 13 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €7 000, €7 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9164 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9164

z =

30.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 60 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2.5 + 55·4.5

R_B = 360/6 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 60 = 40 kN

答え

R_B = 60 kN

2.はりの支点反力

答え: R_B = 15.67 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 2·1 = 2 kN, x̄ = (3 + 4)/2 = 3.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 40·1 + 2·3.5

R_B = 47/3 = 15.67 kN

R_A = 42 − 15.67 = 26.33 kN

答え

R_B = 15.67 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 38.75 kN (T), BC: 42.5 kN (T), CD: 42.5 kN (T), DE: 21.25 kN (T), FG: 38.75 kN (C), GH: 21.25 kN (C), AF: 54.8 kN (C), HE: 30.05 kN (C), BF: 3.75 kN (T), CG: 0, DH: 21.25 kN (T), BG: 5.303 kN (C), DG: 30.05 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: F_AC = 24 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·3 + 15·2 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 24 = 6 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0.7071 = −33.94 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33.94)·0.7071 = 24 kN

答え

F_AC = 24 kN (引張)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: V_x = 5 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = R_A − （切断面より左の下向き荷重すべて）

V_x = 15 − 5·2 = 5 kN

答え

V_x = 5 kN

6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 32.5 kN, R₂ = 142.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 10, M_D = −75, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

答え

点 E: M_E = −220 kN·m

7.はりのたわみ

答え: θ_A = 0.002446 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

端部のたわみ角

θ_A = wL³/(24EI) = 10·3000³/(24·4.6 × 10¹²) = 0.002446 rad

答え

θ_A = 0.002446 rad

これは 0.1401° です。

8.はりのたわみ

答え: M_A = 20 kN·m

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 R_B だけで自由端は R_BL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

固定端のモーメント

荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。

M_A = wL²/2 − R_B·L = 80 − 60 = 20 kN·m

答え

M_A = 20 kN·m

9.柱の座屈

答え: P_cr = 158.8 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158.8 kN

答え

P_cr = 158.8 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 71.06 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7.5 = 166.7

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166.7² = 71.06 MPa

答え

σ_cr = 71.06 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 9.612 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

ウェブ: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·132.5 + 1920·60)/6420 = 110.8 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·25³/12 + 4500·(132.5 − 110.8)² = 2.35 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 16·120³/12 + 1920·(60 − 110.8)² = 7.262 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.35 × 10⁶ + 7.262 × 10⁶ = 9.612 × 10⁶ mm⁴ = 9.612 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 9.612 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 20.54 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

ウェブ: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·285 + 4480·140)/7480 = 198.2 mm

平行軸の定理

フランジ: 300·10³/12 + 3000·(285 − 198.2)² = 2.265 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 16·280³/12 + 4480·(140 − 198.2)² = 4.442 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.265 × 10⁷ + 4.442 × 10⁷ = 6.707 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 290 − 198.2 = 91.84 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·91.84/6.707 × 10⁷ = 20.54 MPa

答え

σ_上端 = 20.54 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ = 179.5 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·3 + 19·7 = 179.5 kPa

答え

σ = 179.5 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 105.5 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 16.5·3 + 19·1 + 18.5·2 = 105.5 kPa

答え

σ = 105.5 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 5.475 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2.5·45 = 112.5 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 45 + 20 = 65 kPa ≤ 112.5 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.03·2/(1 + 0.75)·log₁₀(65/45) = 5.475 mm

答え

S = 5.475 mm

16.圧密沈下

答え: t = 2.261 年

排水距離

H_dr = H/2 = 4/2 = 2 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·2²/1.5 = 2.261 年

答え

t = 2.261 年

17.静水圧

答え: F = 132.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答え

F = 132.4 kN

18.静水圧

答え: F = 156.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·3.75 = 156.3 kN

答え

F = 156.3 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 34.5 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(400/0.25)·1.4²/(2·9.81) = 3.516 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·3.516 = 34496 Pa = 34.5 kPa

答え

Δp = 34.5 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 7.304 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失係数

f·L/D = 0.015·150/0.15 = 15

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 = 1.9

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 15 + 1.9)·0.408 = 7.304 m

答え

H = 7.304 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 21.31 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (6 + 1.5·1.3)·1.3 = 10.34 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1.3·√(1 + 1.5²) = 10.69 m

R = A/P = 0.967 m

速度

V = (1/0.015)·0.967^2/3·0.001^1/2 = 2.062 m/s

流量

Q = A·V = 10.34·2.062 = 21.31 m³/s

答え

Q = 21.31 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.00204 m/m

断面の形状

A = b·y = 1·2.4 = 2.4 m²

P = b + 2y = 1 + 2·2.4 = 5.8 m

R = A/P = 0.4138 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·4.3/(2.4·0.5553) = 0.04517

S = 0.04517² = 0.00204

答え

S = 0.00204

これは 1 km あたり 2.04 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 9.343 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·24 = 5.886 kW

軸動力

P_shaft = 5.886/0.7 = 8.409 kW

電力

P_el = 8.409/0.9 = 9.343 kW

答え

P_el = 9.343 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 46.7 m

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 5)·0.1859 = 5.02 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 35.68 + 5.02 = 46.7 m

答え

H = 46.7 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 100000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.05 − 0.03) = 2 000/0.02 = €100 000.00

答え

PV = €100 000.00

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 129782 €

月利と積立回数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·26 = 312

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.865 − 1)/0.002 = €129 782.39

答え

FV = €129 782.39

自分で払い込んだのは €93 600。残りは利息です。

27.NPV と IRR

答え: NPV = −2161 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 10 000/1.12 = 8 928.57

CF₂/(1 + 0.12)² = 8 000/1.254 = 6 377.55

CF₃/(1 + 0.12)³ = 6 000/1.405 = 4 270.68

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 13 000/1.574 = 8 261.74

合計する

NPV = €−2 161.46

答え

NPV = €−2 161.46

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 25.69 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 80.00

NPV(30%) = −473.37

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·80.00/(80.00 − (−473.37)) = 25.72%

正確な値: NPV(25.69%) = 0 → IRR = 25.69%

答え

IRR = 25.69%

29.正規分布

答え: z = 1.73

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.9164)/2 = 0.9582

z 表を逆に読む

表の中で 0.9582 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.73

答え

z = 1.73

30.正規分布

答え: P = 0.9207

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02828 mm

標準化する

z = (0 − 0.04)/0.02828 = −1.41

確率

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

答え

P = 0.9207

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