FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

はりは A でピン支点、A から 6 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 25 kN 位置 5 mP₂ = 70 kN 位置 8 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 15 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 4.5 m の位置の集中荷重 P が作用する。壁における反力モーメント M_A の大きさを求めよ。

L = 6 mw₀ = 15 kN/mP = 65 kN 位置 4.5 m

M_A = kN·m

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 55 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

F: 25 kN ↓F: 30 kN →H: 40 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

20 kN @ 5 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

45 kN @ 0 m60 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ h_req を求めよ。

w = 2.5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm

h_req = mm

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

150 mm × 150 mm の板に、幅 80 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 97.5 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mm切り欠き: 80 × 50 mm穴の中心: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³粘土: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 5.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.45、C_r = 0.03、e₀ = 0.75 である。中央深さでの有効鉛直応力は 105 kPa であり、圧密降伏応力は 225 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 85 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 5.5 mC_c = 0.45C_r = 0.03e₀ = 0.75σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 225 kPaΔσ = 85 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 0.8 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 60% に対する時間係数は T_v = 0.287 である。この層が圧密度 60% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 5 mc_v = 0.8 m²/年度U = 60%T_v = 0.287両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 400 m、内径 300 mm の管内を平均流速 2.6 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 2.6 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 100 m、内径 200 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 600 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 600 mmn = 0.013S = 0.0008

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 375 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 1 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 375 mmn = 0.013V = 1 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 46 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 25 L/s 送っている。ポンプ効率は 70%、これを駆動する電動機の効率は 92% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 25 L/sH = 46 mη_pump = 70%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 80% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

€2 000 を年 3%、連続複利で投資します。3 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 000r = 3%t = 3

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

18 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2506% / 12N = 216

FV = €

27.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €7 000, €7 000, €8 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000CF₄ = 8 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €36 500, €29 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 500CF₂ = 29 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.8051 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.8051

z =

30.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = −19.17 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·5 + 70·8

R_B = 685/6 = 114.2 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 25 + 70 − 114.2 = −19.17 kN

答え

R_A = −19.17 kN

R_A は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

2.はりの支点反力

答え: M_A = 472.5 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 R_A と反力モーメント M_A を与えます。ΣF_y = 0 から R_A が、壁まわりのモーメントから M_A = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

壁まわりのモーメント

M_A = W·x̄ + P·a = 45·4 + 65·4.5 = 472.5 kN·m

答え

M_A = 472.5 kN·m

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −30.75 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·6 → C_y = 41.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 41.25 = 13.75 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/6.708 = 0.4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13.75/0.4472 = −30.75 kN

答え

F_AB = −30.75 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 44.06 kN (T), BC: 39.38 kN (T), CD: 39.38 kN (T), DE: 34.69 kN (T), FG: 44.06 kN (C), GH: 34.69 kN (C), AF: 23.44 kN (C), HE: 57.81 kN (C), BF: 6.25 kN (C), CG: 0, DH: 6.25 kN (T), BG: 7.813 kN (T), DG: 7.813 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 13.33 kN, R₂ = 36.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 13.33, M_C = 26.67, M_D = 40, M_E = 53.33 kN·m, M_F = 36.67, M_G = 0

答え

点 E: M_E = 53.33 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 20 kN, R₂ = 85 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −140, M_D = −190, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

答え

点 E: M_E = −240 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 23.94 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 23.94 mm

答え

δ_max = 23.94 mm

8.はりのたわみ

答え: h_req = 132 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2.5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

必要な断面二次モーメント

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·3000⁴/(384·11000·10) = 2.397 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = I_req → h = (12·2.397 × 10⁷/125)^1/3 = 132 mm

答え

h_req = 132 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: P_cr = 5.895 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2500² = 5895 N = 5.895 kN

答え

P_cr = 5.895 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 6.94 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7.5 = 533.3

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533.3² = 6.94 MPa

答え

σ_cr = 6.94 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 10.47 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147.5 mm

ウェブ: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·147.5 + 2800·70)/4300 = 97.03 mm

平行軸の定理

フランジ: 100·15³/12 + 1500·(147.5 − 97.03)² = 3.848 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 20·140³/12 + 2800·(70 − 97.03)² = 6.62 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3.848 × 10⁶ + 6.62 × 10⁶ = 1.047 × 10⁷ mm⁴ = 10.47 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 10.47 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 38.89 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 4000·97.5)/(22500 − 4000) = 70.14 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·4.865² = 42.72 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

80·50³/12 + 4000·27.36² = 3.829 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 38.89 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 38.89 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: u = 58.86 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

答え

u = 58.86 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 39.24 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

答え

u = 39.24 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 24.28 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 105 + 85 = 190 kPa ≤ 225 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.03·5.5/(1 + 0.75)·log₁₀(190/105) = 24.28 mm

答え

S = 24.28 mm

16.圧密沈下

答え: t = 2.242 年

排水距離

H_dr = H/2 = 5/2 = 2.5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.287·2.5²/0.8 = 2.242 年

答え

t = 2.242 年

17.静水圧

答え: F = 34.34 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·1 = 34.34 kN

答え

F = 34.34 kN

18.静水圧

答え: F = 55.18 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.5 = 55.18 kN

答え

F = 55.18 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 13.78 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 2.6²/(2·9.81) = 0.3445 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(400/0.3)·2.6²/(2·9.81) = 13.78 m

答え

h_f = 13.78 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 2.807 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失係数

f·L/D = 0.025·100/0.2 = 12.5

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 = 1.6

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 12.5 + 1.6)·0.1859 = 2.807 m

答え

H = 2.807 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.08683 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.1414 m², R = D/4 = 0.15 m

速度

V = (1/0.013)·0.15^2/3·0.0008^1/2 = 0.6142 m/s

流量

Q = A·V = 0.1414·0.6142 = 0.08683 m³/s

答え

Q = 0.08683 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.003968 m/m

径深

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1/0.2064)² = 0.003968

答え

S = 0.003968

これは 1 km あたり 3.968 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 17.52 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·46 = 11.28 kW

軸動力

P_shaft = 11.28/0.7 = 16.12 kW

電力

P_el = 16.12/0.92 = 17.52 kW

答え

P_el = 17.52 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 15.12 kW

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s

V²/(2g) = 0.1354 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 8)·0.1354 = 5.415 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 10 + 5.415 = 15.42 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·15.42/0.8 = 15.12 kW

答え

P_shaft = 15.12 kW

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 2188 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.03·3 = 0.09

e^0.09 = 1.094

将来価値

FV = 2 000·1.094 = €2 188.35

答え

FV = €2 188.35

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 96838 €

月利と積立回数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·18 = 216

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2.937 − 1)/0.005 = €96 838.30

答え

FV = €96 838.30

自分で払い込んだのは €54 000。残りは利息です。

27.NPV と IRR

答え: NPV = 6597 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 8 000/1.05 = 7 619.05

CF₂/(1 + 0.05)² = 7 000/1.103 = 6 349.21

CF₃/(1 + 0.05)³ = 7 000/1.158 = 6 046.86

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 8 000/1.216 = 6 581.62

合計する

NPV = €6 596.74

答え

NPV = €6 596.74

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 21.54 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 902.78

NPV(25%) = −1 920.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·902.78/(902.78 − (−1 920.00)) = 21.6%

正確な値: NPV(21.54%) = 0 → IRR = 21.54%

答え

IRR = 21.54%

29.正規分布

答え: z = −0.86

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.8051 = 0.1949

z 表を逆に読む

表の中で 0.1949 を見つけ、z を読み取ります。

z = −0.86

答え

z = −0.86

30.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

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