FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 0 から B で 6 kN/m まで直線的に増加する分布荷重が作用する。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 10 mw₀ = 6 kN/m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 6 mP = 20 kN 位置 4 mw = 5 kN/m（2 から 6 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 55 kN

F_BC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 20 kN →

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。支点間の最大の正の曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 8.5 mw = 5 kN/m（0 から 8.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m

M_max = kN·m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 26 kNw = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。支点 B の反力 R_B を求めよ。

L = 4 mP = 70 kN 位置 2 m

R_B = kN

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 10 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

100 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 105 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 150 mmd = 60 mm穴の中心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 10 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_下端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 6 m の過圧密粘土層の C_c = 0.2、C_r = 0.03、e₀ = 0.85 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、圧密降伏応力は 160 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 30 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 6 mC_c = 0.2C_r = 0.03e₀ = 0.85σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 160 kPaΔσ = 30 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 8.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 2.5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 70% に対する時間係数は T_v = 0.403 である。この層が圧密度 70% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 8.5 mc_v = 2.5 m²/年度U = 70%T_v = 0.403両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 150 m、内径 50 mm の水平管内を 2 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 7 m 高い。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 7 mL = 300 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 450 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 450 mmn = 0.013S = 0.001

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 2 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形のきれいな土の水路は、水深 1.9 m の等流で 19 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 19 m³/sb = 2 my = 1.9 mz = 1.5n = 0.022

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 70% のポンプが揚程 52 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 100 L/sH = 52 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 82% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 100 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €20 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 3% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €20 000g = 1%r = 3%

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

年 3%、月複利で €10 000 を借り、毎月末に €125 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €10 000A = €1253% / 12

N = 回

27.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €8 000, €6 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 8 000CF₃ = 6 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €21 000, €22 000, €17 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 21 000CF₂ = 22 000CF₃ = 17 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。26 から 41.3 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 32σ = 6x₁ = 26x₂ = 41.3

P =

30.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。色つきの上位 30% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点30%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 20 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·6.667

R_B = 20 kN

R_A = 30 − 20 = 10 kN

答え

R_B = 20 kN

2.はりの支点反力

答え: R_B = 26.67 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN、作用点 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·4 + 5·4·4

R_B = 160/6 = 26.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 26.67 = 13.33 kN

答え

R_B = 26.67 kN

3.トラス：節点法

答え: F_BC = −24.79 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 → C_y = 13.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13.75 = 41.25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13.75/0.5547 = −24.79 kN

答え

F_BC = −24.79 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −44.72 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 + 20·2 → C_y = 40 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 40 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −40/0.8944 = −44.72 kN

答え

F_BC = −44.72 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 85 kN, R₂ = 85 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 150, M_C = 260, M_D = 330 kN·m, M_E = 260, M_F = 150, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 330 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 15.37 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·8.5 = 42.5 kN、作用点 x̄ = 4.25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·8.5·4.25

R_B = 180.6/6 = 30.1 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42.5 − 30.1 = 12.4 kN

せん断力 0 の位置

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12.4/5 = 2.479 m

最大の正の曲げモーメント

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 12.4²/(2·5) = 15.37 kN·m

答え

M_max = 15.37 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ = 17.02 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 26000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(3EI) = 26000·2500³/(3·1.14 × 10¹³) = 11.88 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 5.14 mm

足し合わせる

δ = 11.88 + 5.14 = 17.02 mm

答え

δ = 17.02 mm

8.はりのたわみ

答え: R_B = 21.88 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支点 B での適合条件

支点反力 R_B だけで自由端は R_BL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·70/16 = 21.88 kN

答え

R_B = 21.88 kN

9.柱の座屈

答え: P_cr = 2.559 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·6000 = 12000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/12000² = 2559 N = 2.559 kN

答え

P_cr = 2.559 kN

10.柱の座屈

答え: d = 33.36 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 33.36 mm

答え

d = 33.36 mm

確認：細長比 KL/r は 239.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 24.35 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (15000·75 − 2827·105)/(15000 − 2827) = 68.03 mm

ȳ まわりの全体の板

100·150³/12 + 15000·6.968² = 28.85 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·36.97² = 4.5 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 24.35 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 24.35 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 201.8 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107.5 mm

ウェブ: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·107.5 + 1400·50)/4700 = 90.37 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·15³/12 + 3300·(107.5 − 90.37)² = 1.03 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 14·100³/12 + 1400·(50 − 90.37)² = 3.449 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.03 × 10⁶ + 3.449 × 10⁶ = 4.479 × 10⁶ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 90.37 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·90.37/4.479 × 10⁶ = 201.8 MPa

答え

σ_下端 = 201.8 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ = 70.5 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 19.5·1 = 70.5 kPa

答え

σ = 70.5 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 101.8 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 17·4 + 19·2 + 17.5·2 = 141 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 141 − 39.24 = 101.8 kPa

答え

σ′ = 101.8 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 12.16 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 30 = 120 kPa ≤ 160 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.03·6/(1 + 0.85)·log₁₀(120/90) = 12.16 mm

答え

S = 12.16 mm

16.圧密沈下

答え: t = 2.912 年

排水距離

H_dr = H/2 = 8.5/2 = 4.25 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·4.25²/2.5 = 2.912 年

答え

t = 2.912 年

17.静水圧

答え: F = 208.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·5 = 208.5 kN

答え

F = 208.5 kN

18.静水圧

答え: F = 92.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·3 = 92.7 kN

答え

F = 92.7 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 108 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(150/0.05)·2²/(2·9.81) = 11.01 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·11.01 = 108000 Pa = 108 kPa

答え

Δp = 108 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 173.9 L/s

損失係数

f·L/D = 0.018·300/0.3 = 18

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

7 = (18 + 4.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·7/22.7) = 2.46 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 2.46·0.07069 = 0.1739 m³/s = 173.9 L/s

答え

Q = 173.9 L/s

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.04508 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.07952 m², R = D/4 = 0.1125 m

速度

V = (1/0.013)·0.1125^2/3·0.001^1/2 = 0.5669 m/s

流量

Q = A·V = 0.07952·0.5669 = 0.04508 m³/s

答え

Q = 0.04508 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.00195 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2 + 1.5·1.9)·1.9 = 9.215 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1.9·√(1 + 1.5²) = 8.851 m

R = A/P = 1.041 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·19/(9.215·1.027) = 0.04416

S = 0.04416² = 0.00195

答え

S = 0.00195

これは 1 km あたり 1.95 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 72.87 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·52 = 51.01 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 51.01/0.7 = 72.87 kW

答え

P_shaft = 72.87 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 18.44 kW

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17.6 + 8)·0.2115 = 5.415 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 10 + 5.415 = 15.42 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·15.42/0.82 = 18.44 kW

答え

P_shaft = 18.44 kW

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 1 × 10⁶ €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.03 − 0.01) = 20 000/0.02 = €1 000 000.00

答え

PV = €1 000 000.00

26.貨幣の時間価値

答え: N = 90 回

年金の公式を変形する

i = 0.0025

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0.0025/125 = 0.8

対数を使って解く

N = −ln(0.8)/ln(1.002) = 89.37

返済回数を整数に切り上げる

89 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 90

答え

N = 90 回

27.NPV と IRR

答え: NPV = −698.7 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 9 000/1.1 = 8 181.82

CF₂/(1 + 0.1)² = 8 000/1.21 = 6 611.57

CF₃/(1 + 0.1)³ = 6 000/1.331 = 4 507.89

合計する

NPV = €−698.72

答え

NPV = €−698.72

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 24.72 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 2 905.09

NPV(25%) = −160.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·2 905.09/(2 905.09 − (−160.00)) = 24.74%

正確な値: NPV(24.72%) = 0 → IRR = 24.72%

答え

IRR = 24.72%

29.正規分布

答え: P = 0.7808

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (26 − 32)/6 = −1

z₂ = (41.3 − 32)/6 = 1.55

間の面積

P = Φ(1.55) − Φ(−1) = 0.9394 − 0.1587 = 0.7808

答え

P = 0.7808

30.正規分布

答え: x = 107.8 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.7

表からの z

z ≈ 0.52

元の単位に戻す

x = 100 + 0.52·15 = 107.8 点

答え

x = 107.8 点

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