FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 6 mP₁ = 30 kN 位置 2 mP₂ = 45 kN 位置 4 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 3 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 10 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 6 m の位置の集中荷重 P である。ローラーの反力 R_D を求めよ。

AC = 3 mAD = 10 mP = 70 kN 位置 6 m

R_D = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 30 kN ↓D: 30 kN ↓G: 30 kN ↓H: 30 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 35 kN ↓F: 25 kN ↓G: 10 kN ↓H: 25 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

単純ばりに、A から x = 2 m の位置で時計回りの偶力 M₀ = 60 kN·m が作用し、他の荷重はない。偶力のすぐ右側での曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mM₀ = 60 kN·m 時計回り、位置 2 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mP = 20 kN 位置 2 mw = 2 kN/m（0 から 10 m まで）x = 2 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 3 kNw = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 105 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 105 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 25 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 25 kN·m

σ_下端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 4 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 5.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 8 m の過圧密粘土層の C_c = 0.4、C_r = 0.06、e₀ = 1.1 である。中央深さでの有効鉛直応力は 70 kPa であり、圧密降伏応力は 190 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 30 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 8 mC_c = 0.4C_r = 0.06e₀ = 1.1σ′₀ = 70 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 30 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 20 mm の粘土供試体が 6 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 6 m の層をなしている。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 20 mmt_lab = 6 minH = 6 m現場：片面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 100 m、内径 75 mm の水平管内を 2.1 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.1 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 40 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 40 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の芝で覆われた土の水路の幅は 1.5 m である。水は水深 2.1 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 1.5 my = 2.1 mn = 0.03S = 0.005

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 3.5 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形のれんが積みの水路は、水深 1.1 m の等流で 17 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.015。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 17 m³/sb = 3.5 my = 1.1 mz = 1.5n = 0.015

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 85% のポンプが揚程 26 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 80 L/sH = 26 mη = 85%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 3（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 3

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

€2 000 を年 8%、連続複利で投資します。5 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 000r = 8%t = 5

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€15 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €15 0002.4% / 12N = 48

A = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、5 年間、毎年末に €8 000 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000CF₄ = 8 000CF₅ = 8 000

DPB = 年

28.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €23 000, €16 500, €8 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €42 000 で、€12 000, €18 000, €21 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −40 000, 23 000, 16 500, 8 500B: −42 000, 12 000, 18 000, 21 500

r* = %

29.正規分布ふつう

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。242.75 から 255.25 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 250σ = 5x₁ = 242.75x₂ = 255.25

P =

30.正規分布むずかしい

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 75% がそれより下にある値 x（第 75 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 40 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2 + 45·4

R_B = 240/6 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 40 = 35 kN

答え

R_B = 40 kN

2.はりの支点反力

答え: R_D = 30 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

ΣM_C = 0: R_D·7 = 70·3

R_D = 30 kN

V_C = 70 − 30 = 40 kN

答え

R_D = 30 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 39.38 kN (T), BC: 56.25 kN (T), CD: 56.25 kN (T), DE: 50.62 kN (T), FG: 39.37 kN (C), GH: 50.62 kN (C), AF: 65.63 kN (C), HE: 84.37 kN (C), BF: 52.5 kN (T), CG: 0, DH: 37.5 kN (T), BG: 28.13 kN (C), DG: 9.375 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 31.25 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 13.75 kN (T), FG: 56.25 kN (C), GH: 38.75 kN (C), AF: 79.55 kN (C), HE: 19.45 kN (C), BF: 31.25 kN (T), CG: 0, DH: 13.75 kN (T), BG: 5.303 kN (T), DG: 19.45 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 36 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：R_B·L − M₀ = 0。鉛直方向のつり合い：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 60/5 = 12 kN (上向き)

R_A = −R_B = −12 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には R_A と偶力が含まれます。

M_x = R_A·a + M₀ = −12·2 + 60 = 36 kN·m

答え

M_x = 36 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 48 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2 + 2·10·5

R_B = 140/10 = 14 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 14 = 26 kN

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 26·2 − 2·2·1 = 48 kN·m

答え

M_x = 48 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ = 67.5 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 10·6000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 67.5 mm

答え

δ = 67.5 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 52.47 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 3000 N, w = 10 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·5000³/(48·1.7 × 10¹²) = 4.596 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 47.87 mm

足し合わせる

δ_max = 4.596 + 47.87 = 52.47 mm

答え

δ_max = 52.47 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 37.85 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·2000 = 4000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37.85 kN

答え

P_cr = 37.85 kN

10.柱の座屈

答え: d = 122.2 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 122.2 mm

答え

d = 122.2 mm

確認：細長比 KL/r は 196.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 4.013 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

ウェブ: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·105 + 1400·50)/4200 = 86.67 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·10³/12 + 2800·(105 − 86.67)² = 964444 mm⁴

ウェブ: 14·100³/12 + 1400·(50 − 86.67)² = 3.049 × 10⁶ mm⁴

I_x = 964444 + 3.049 × 10⁶ = 4.013 × 10⁶ mm⁴ = 4.013 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 4.013 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 171.9 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

ウェブ: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·205 + 2800·100)/4200 = 135 mm

平行軸の定理

フランジ: 140·10³/12 + 1400·(205 − 135)² = 6.872 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 14·200³/12 + 2800·(100 − 135)² = 1.276 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.872 × 10⁶ + 1.276 × 10⁷ = 1.964 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 135 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·135/1.964 × 10⁷ = 171.9 MPa

答え

σ_下端 = 171.9 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 43.07 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 18.5·3 = 72.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 72.5 − 29.43 = 43.07 kPa

答え

σ′ = 43.07 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 98.5 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 15.5·1 + 19·2 + 18·2.5 = 98.5 kPa

答え

σ = 98.5 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 35.41 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 70 + 30 = 100 kPa ≤ 190 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.06·8/(1 + 1.1)·log₁₀(100/70) = 35.41 mm

答え

S = 35.41 mm

16.圧密沈下

答え: t = 1500 日

排水距離

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 6 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 6·(6/0.01)² = 2.16 × 10⁶ min

t_field = 2.16 × 10⁶/1440 = 1500 日

答え

t = 1500 日

17.静水圧

答え: F = 29.43 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN

答え

F = 29.43 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 3.524 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.5·1.5 = 52.79 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.125/(3.5·1.5) = 3.524 m

答え

y_cp = 3.524 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 88.2 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(100/0.075)·2.1²/(2·9.81) = 8.991 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·8.991 = 88200 Pa = 88.2 kPa

答え

Δp = 88.2 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 5.38 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

損失係数

f·L/D = 0.018·150/0.15 = 18

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6

全損失水頭

h_f = 18·0.2611 = 4.701 m

h_m = 2.6·0.2611 = 0.679 m

Δz = h_f + h_m = 5.38 m

答え

Δz = 5.38 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 5 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 1.5·2.1 = 3.15 m²

P = b + 2y = 1.5 + 2·2.1 = 5.7 m

R = A/P = 0.5526 m

速度

V = (1/0.03)·0.5526^2/3·0.005^1/2 = 1.587 m/s

流量

Q = A·V = 3.15·1.587 = 5 m³/s

答え

Q = 5 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.002928 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·1.1)·1.1 = 5.665 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.1·√(1 + 1.5²) = 7.466 m

R = A/P = 0.7588 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·17/(5.665·0.8319) = 0.05411

S = 0.05411² = 0.002928

答え

S = 0.002928

これは 1 km あたり 2.928 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 24.01 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·26 = 20.4 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 20.4/0.85 = 24.01 kW

答え

P_shaft = 24.01 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 11.95 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 3)·0.3305 = 5.949 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 6 + 5.949 = 11.95 m

答え

H = 11.95 m

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 2984 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.08·5 = 0.4

e^0.4 = 1.492

将来価値

FV = 2 000·1.492 = €2 983.65

答え

FV = €2 983.65

26.貨幣の時間価値

答え: A = 328.1 €

月利と返済回数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·4 = 48

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.9086

A = 15 000·0.002/(1 − 0.9086) = €328.05

答え

A = €328.05

27.NPV と IRR

答え: DPB = 4.934 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 8 000/1.1 = 7 272.73 → Σ = 7 272.73

年度 2: 8 000/1.21 = 6 611.57 → Σ = 13 884.30

年度 3: 8 000/1.331 = 6 010.52 → Σ = 19 894.82

年度 4: 8 000/1.464 = 5 464.11 → Σ = 25 358.92

年度 5: 8 000/1.611 = 4 967.37 → Σ = 30 326.29

最後の年の端数

DPB = 4 + 4 641.08/4 967.37 = 4.934

答え

DPB = 4.934 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.75 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: r* = 5.467 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 12 000 − 23 000 = −11 000

ΔCF₂ = 18 000 − 16 500 = 1 500

ΔCF₃ = 21 500 − 8 500 = 13 000

差の IRR

NPV_Δ(5%) = 114.24

NPV_Δ(6%) = −127.31

r* = 5.467%

答え

r* = 5.467%

確認：5.467% では両方の NPV が €3 886.76 です。

29.正規分布

答え: P = 0.7796

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (242.75 − 250)/5 = −1.45

z₂ = (255.25 − 250)/5 = 1.05

間の面積

P = Φ(1.05) − Φ(−1.45) = 0.8531 − 0.07353 = 0.7796

答え

P = 0.7796

30.正規分布

答え: x = 36.05 min

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

x に戻す

x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min

答え

x = 36.05 min

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