はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
FE Civil 試験対策：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
地盤の有効応力
- 全応力
- σ = Σγi·hi
- 間隙水圧
- u = γw·(z − zw)
- 有効応力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
圧密沈下
- 正規圧密
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最終応力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 過圧密、σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 過圧密、σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 過圧密比
- OCR = σ′p/σ′0
- 圧密時間
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水距離
- Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
- 時間係数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 5 mP1 = 50 kN 位置 2.5 mP2 = 45 kN 位置 3.5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
はりは A でピン支点、A から 4 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用し、4 m から 6 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。
AB = 4 mAC = 6 mP = 50 kN 位置 2.5 mw = 6 kN/m（4 から 6 m まで）
RA = kN
3.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 50 kN
FAC = kN
4.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 25 kN →
FAC = kN
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mw = 10 kN/m（0 から 6 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 30 kN 位置 1 mw = 5 kN/m（0 から 8 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 8 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 8 mw = 12 kN/m
RB = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
σcr = MPa
11.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 144 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mm穴の中心: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 200 mm の板に、幅 40 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 70 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 200 mm切り欠き: 40 × 40 mm穴の中心: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力ふつう
図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。
z = 7 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³
σ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。
z = 7.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³粘土: γsat = 19 kN/m³
σ = kPa
15.圧密沈下ふつう
厚さ 6 m の過圧密粘土層の Cc = 0.2、Cr = 0.05、e₀ = 0.7 である。中央深さでの有効鉛直応力は 100 kPa であり、 圧密降伏応力は 170 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 180 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。
H = 6 mCc = 0.2Cr = 0.05e0 = 0.7σ′0 = 100 kPaσ′p = 170 kPaΔσ = 180 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
厚さ 7 m の粘土層の圧密係数は cv = 3 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。 平均圧密度 70% に対する時間係数は Tv = 0.403 である。この層が圧密度 70% に達するまでに何年 t かかるか。
H = 7 mcv = 3 m²/年度U = 70%Tv = 0.403両面排水
t = 年
17.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 1.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 400 m、内径 300 mm の管内を平均流速 2.1 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
V = 2.1 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 13 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 13 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Q = L/s
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形の芝で覆われた土の水路の底幅は 6 m、側面勾配は 2:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.5 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.0005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 6 my = 0.5 mz = 2n = 0.03S = 0.0005
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
幅 4 m の長方形のきれいな土の水路は、 水深 2.2 m の等流で 12 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 12 m³/sb = 4 my = 2.2 mn = 0.022
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 24 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送り、そのとき軸動力は 2.9 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 10 L/sH = 24 mPshaft = 2.9 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 72% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 20 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 8η = 72%
Pshaft = kW
25.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、月複利で €20 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 0003.6% / 12n = 3
FV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
年 6%、月複利で €10 000 を借り、毎月末に €450 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €10 000A = €4506% / 12
N = 回
27.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€5 000, €9 000, €9 000, €5 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −20 000CF1 = 5 000CF2 = 9 000CF3 = 9 000CF4 = 5 000
NPV = €
28.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €30 000, €25 500, €29 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 10% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 10%CF0 = −50 000CF1 = 30 000CF2 = 25 500CF3 = 29 000
MIRR = %
29.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.1492 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.1492
z =
30.正規分布むずかしい
袋の重さ は、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの下位 25% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 56.5 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·5 = 50·2.5 + 45·3.5
RB = 282.5/5 = 56.5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 56.5 = 38.5 kN
答え
RB = 56.5 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 15.75 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
分布荷重の合力
W = 6·2 = 12 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2.5 + 12·5
RB = 185/4 = 46.25 kN
RA = 62 − 46.25 = 15.75 kN
答え
RA = 15.75 kN
3.トラス：節点法
答え: FAC = 16.67 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·6 = 50·2 → Cy = 16.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 16.67 = 33.33 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16.67/0.7071 = −23.57 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−23.57)·0.7071 = 16.67 kN
答え
FAC = 16.67 kN (引張)
4.トラス：節点法
答え: FAC = 7.667 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·5 = 10·4 + 25·3 → Cy = 23 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 23 = −13 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −23/0.9487 = −24.24 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−24.24)·0.3162 = 7.667 kN
答え
FAC = 7.667 kN (引張)
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 43.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
x = 2.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 30·2.5 − 10·2.5·1.25 = 43.75 kN·m
答え
Mx = 43.75 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 43.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·1 + 5·8·4
RB = 190/8 = 23.75 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 23.75 = 46.25 kN
x = 1 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 46.25·1 − 5·1·0.5 = 43.75 kN·m
答え
Mx = 43.75 kN·m
7.はりのたわみ
答え: θA = 0.01212 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 8·4000³/(24·1.76 × 10¹²) = 0.01212 rad
答え
θA = 0.01212 rad
これは 0.6945° です。
8.はりのたわみ
答え: RB = 36 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·8/8 = 36 kN
答え
RB = 36 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 14.69 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1750² = 14687 N = 14.69 kN
答え
Pcr = 14.69 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 100.7 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/5 = 140
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa
答え
σcr = 100.7 MPa
11.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 113.7 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·120 − 1963·144)/(24000 − 1963) = 117.9 mm
ȳ まわりの全体の板
100·240³/12 + 24000·2.138² = 115.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·50⁴/64 + 1963·26.14² = 1.648 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 113.7 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 113.7 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 78.24 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·100 − 1600·70)/(24000 − 1600) = 102.1 mm
ȳ まわりの全体の板
120·200³/12 + 24000·−2.143² = 80.11 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
40·40³/12 + 1600·−32.14² = 1.866 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 78.24 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 78.24 × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力
答え: σ = 123 kPa
有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。
全応力
X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·4 + 19·3 = 123 kPa
答え
σ = 123 kPa
14.地盤の有効応力
答え: σ = 137 kPa
有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。
全応力
X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。
σ = γd·1 + γsat,sand·4 + γsat,clay·2.5
σ = 15.5·1 + 18.5·4 + 19·2.5 = 137 kPa
答え
σ = 137 kPa
15.圧密沈下
答え: S = 193.6 mm
厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。
圧密降伏応力と比べる
σ′f = 100 + 180 = 280 kPa > 170 kPa
沈下量
σ′p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。
S = 0.05·6/(1 + 0.7)·log₁₀(170/100) + 0.2·6/(1 + 0.7)·log₁₀(280/170)
S = 40.67 + 153 = 193.6 mm
答え
S = 193.6 mm
16.圧密沈下
答え: t = 1.646 年
厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。
排水距離
Hdr = H/2 = 7/2 = 3.5 m
時間
t = Tv·Hdr²/cv = 0.403·3.5²/3 = 1.646 年
答え
t = 1.646 年
17.静水圧
答え: F = 196.2 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·4 = 196.2 kN
答え
F = 196.2 kN
18.静水圧
答え: ycp = 2.633 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.5·6 = 150.8 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.5 + 2/(2.5·6) = 2.633 m
答え
ycp = 2.633 m
19.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 4.495 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度水頭
V²/(2g) = 2.1²/(2·9.81) = 0.2248 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(400/0.3)·2.1²/(2·9.81) = 4.495 m
答え
hf = 4.495 m
20.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 99.55 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.015·300/0.2 = 22.5
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
13 = (22.5 + 2.9)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·13/25.4) = 3.169 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.169·0.03142 = 0.09955 m³/s = 99.55 L/s
答え
Q = 99.55 L/s
21.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 1.475 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (6 + 2·0.5)·0.5 = 3.5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0.5·√(1 + 2²) = 8.236 m
R = A/P = 0.425 m
速度
V = (1/0.03)·0.4252/3·0.00051/2 = 0.4213 m/s
流量
Q = A·V = 3.5·0.4213 = 1.475 m³/s
答え
Q = 1.475 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.0008459 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 4·2.2 = 8.8 m²
P = b + 2y = 4 + 2·2.2 = 8.4 m
R = A/P = 1.048 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·12/(8.8·1.031) = 0.02908
S = 0.02908² = 0.0008459
答え
S = 0.0008459
これは 1 km あたり 0.8459 m の落差です。
23.ポンプとポンプ動力
答え: η = 81.19 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·24 = 2.354 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 2.354/2.9 = 81.19%
答え
η = 81.19%
24.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 5.057 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0.3305 = 12.56 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 6 + 12.56 = 18.56 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·18.56/0.72 = 5.057 kW
答え
Pshaft = 5.057 kW
25.貨幣の時間価値
答え: FV = 22277 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = m·n = 12·3 = 36
将来価値
FV = 20 000·(1 + 0.003)36 = 20 000·1.114 = €22 277.35
答え
FV = €22 277.35
26.貨幣の時間価値
答え: N = 24 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.005
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0.005/450 = 0.8889
対数を使って解く
N = −ln(0.8889)/ln(1.005) = 23.62
返済回数を整数に切り上げる
23 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
N = 24
答え
N = 24 回
27.NPV と IRR
答え: NPV = −70.47 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 5 000/1.15 = 4 347.83
CF2/(1 + 0.15)2 = 9 000/1.322 = 6 805.29
CF3/(1 + 0.15)3 = 9 000/1.521 = 5 917.65
CF4/(1 + 0.15)4 = 5 000/1.749 = 2 858.77
合計する
NPV = €−70.47
答え
NPV = €−70.47
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
28.NPV と IRR
答え: MIRR = 23.13 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
30 000·1.12 = 36 300.00
25 500·1.11 = 28 050.00
29 000·1.10 = 29 000.00
TV = 93 350.00
MIRR
MIRR = (93 350.00/50 000)1/3 − 1 = 23.13%
答え
MIRR = 23.13%
29.正規分布
答え: z = 1.04
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.1492 = 0.8508
z 表を逆に読む
表の中で 0.8508 を見つけ、z を読み取ります。
z = 1.04
答え
z = 1.04
30.正規分布
答え: x = 246.7 g
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.25
表からの z
z ≈ −0.67
元の単位に戻す
x = 250 − 0.67·5 = 246.7 g
答え
x = 246.7 g
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