FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

はりは A でピン支点、A から 7 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 10 kN 位置 2 mP₂ = 30 kN 位置 10 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 4 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 8 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 6 m の位置の集中荷重 P, 部分 CD 全体の等分布荷重 w および A から 3 m の位置の集中荷重 Q である。ローラーの反力 R_D を求めよ。

AC = 4 mAD = 8 mP = 60 kN 位置 6 mw = 10 kN/m（4 から 8 m まで）Q = 70 kN 位置 3 m

R_D = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 35 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 50 kN水平荷重 = 25 kN →

F_AC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

40 kN @ 4 m12 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

35 kN @ 0 m15 kN @ 12 m25 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。はりの最大たわみ δ_max を求めよ。

P = 7 kNb = 1.5 mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 80 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 80 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 50 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmM = 50 kN·m

σ_上端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 3 m の過圧密粘土層の C_c = 0.3、C_r = 0.05、e₀ = 0.65 である。中央深さでの有効鉛直応力は 95 kPa であり、圧密降伏応力は 165 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 40 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 3 mC_c = 0.3C_r = 0.05e₀ = 0.65σ′₀ = 95 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 25 mm の粘土供試体が 12 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 5.5 m の層をなしている。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 25 mmt_lab = 12 minH = 5.5 m現場：片面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 200 m、内径 150 mm の管内を 50 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 50 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 400 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 200 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 200 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の仕上げのないコンクリートの水路の幅は 5.5 m である。水は水深 0.5 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 5.5 my = 0.5 mn = 0.014S = 0.005

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 5.5 m の長方形のきれいな土の水路は、水深 1.5 m の等流で 8.2 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 8.2 m³/sb = 5.5 my = 1.5 mn = 0.022

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 72% のポンプが揚程 22 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 100 L/sH = 22 mη = 72%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 16 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 350 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 75 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 4p_tank = 350 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €2 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 4% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 8% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €2 000g = 4%r = 8%

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €200 0002.4% / 12N = 300

A = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、6 年間、毎年末に €14 500 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 14 500CF₂ = 14 500CF₃ = 14 500CF₄ = 14 500CF₅ = 14 500CF₆ = 14 500

DPB = 年

28.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €3 500, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €12 000 で、€3 000, €4 500, €6 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −10 000, 5 500, 3 500, 2 500B: −12 000, 3 000, 4 500, 6 500

r* = %

29.正規分布ふつう

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。88 から 127.75 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 127.75

P =

30.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。全体の 95% がそれより下にある値 x（第 95 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 95%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = −5.714 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·7 = 10·2 + 30·10

R_B = 320/7 = 45.71 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 10 + 30 − 45.71 = −5.714 kN

答え

R_A = −5.714 kN

R_A は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

2.はりの支点反力

答え: R_D = 50 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

W = 10·4 = 40 kN 位置 2 m 起点 C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 60·2 + 40·2

R_D = 50 kN

V_C = 100 − 50 = 50 kN

答え

R_D = 50 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −15.77 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26.25 = 8.75 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8.75/0.5547 = −15.77 kN

答え

F_AB = −15.77 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_AC = 36.46 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·1 + 25·3 → C_y = 15.63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 15.63 = 34.38 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/7.616 = 0.3939, cos γ = 7/7.616 = 0.9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15.63/0.3939 = −39.67 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−39.67)·0.9191 = 36.46 kN

答え

F_AC = 36.46 kN (引張)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 49.33 kN, R₂ = 62.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 43.33, M_C = 74.67, M_D = 94, M_E = 101.3 kN·m, M_F = 56.67, M_G = 0

答え

点 E: M_E = 101.3 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 2 m)

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 46.25 kN, R₂ = 28.75 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = −70 kN·m, M_C = −47.5, M_D = −25, M_E = −2.5, M_F = −30, M_G = 0

答え

点 B: M_B = −70 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 12.24 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 12.24 mm

答え

δ_max = 12.24 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 35.11 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 7000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

最大たわみ

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 35.11 mm

答え

δ_max = 35.11 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 158.8 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158.8 kN

答え

P_cr = 158.8 kN

10.柱の座屈

答え: d = 62.09 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 62.09 mm

答え

d = 62.09 mm

確認：細長比 KL/r は 193.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 42.74 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

ウェブ: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·285 + 3360·140)/4760 = 182.6 mm

平行軸の定理

フランジ: 140·10³/12 + 1400·(285 − 182.6)² = 1.468 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 12·280³/12 + 3360·(140 − 182.6)² = 2.806 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.468 × 10⁷ + 2.806 × 10⁷ = 4.274 × 10⁷ mm⁴ = 42.74 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 42.74 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 383.5 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

ウェブ: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·105 + 1800·50)/3600 = 77.5 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·10³/12 + 1800·(105 − 77.5)² = 1.376 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 18·100³/12 + 1800·(50 − 77.5)² = 2.861 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.376 × 10⁶ + 2.861 × 10⁶ = 4.237 × 10⁶ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 110 − 77.5 = 32.5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·32.5/4.237 × 10⁶ = 383.5 MPa

答え

σ_上端 = 383.5 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 54.69 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 19.5·1 = 64.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·1 = 9.81 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 64.5 − 9.81 = 54.69 kPa

答え

σ′ = 54.69 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 142 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·2

σ = 15.5·2 + 19·4 + 17.5·2 = 142 kPa

答え

σ = 142 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 13.87 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 95 + 40 = 135 kPa ≤ 165 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·3/(1 + 0.65)·log₁₀(135/95) = 13.87 mm

答え

S = 13.87 mm

16.圧密沈下

答え: t = 1613 日

排水距離

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 5.5 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 12·(5.5/0.0125)² = 2.323 × 10⁶ min

t_field = 2.323 × 10⁶/1440 = 1613 日

答え

t = 1613 日

17.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN

18.静水圧

答え: F = 231.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.75·5 = 231.8 kN

答え

F = 231.8 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 13.6 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 2.829²/(2·9.81) = 0.408 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(200/0.15)·2.829²/(2·9.81) = 13.6 m

答え

h_f = 13.6 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 13.22 m

速度

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失係数

f·L/D = 0.015·400/0.3 = 20

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 20 + 11.4)·0.408 = 13.22 m

答え

H = 13.22 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 7.828 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 5.5·0.5 = 2.75 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·0.5 = 6.5 m

R = A/P = 0.4231 m

速度

V = (1/0.014)·0.4231^2/3·0.005^1/2 = 2.846 m/s

流量

Q = A·V = 2.75·2.846 = 7.828 m³/s

答え

Q = 7.828 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0004976 m/m

断面の形状

A = b·y = 5.5·1.5 = 8.25 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·1.5 = 8.5 m

R = A/P = 0.9706 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·8.2/(8.25·0.9803) = 0.02231

S = 0.02231² = 0.0004976

答え

S = 0.0004976

これは 1 km あたり 0.4976 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 29.98 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·22 = 21.58 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 21.58/0.72 = 29.98 kW

答え

P_shaft = 29.98 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 56.11 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11.25 + 4)·0.2905 = 4.43 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 16 + 35.68 + 4.43 = 56.11 m

答え

H = 56.11 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 50000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.08 − 0.04) = 2 000/0.04 = €50 000.00

答え

PV = €50 000.00

26.貨幣の時間価値

答え: A = 887.2 €

月利と返済回数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·25 = 300

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.5491

A = 200 000·0.002/(1 − 0.5491) = €887.19

答え

A = €887.19

27.NPV と IRR

答え: DPB = 4.2 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 14 500/1.08 = 13 425.93 → Σ = 13 425.93

年度 2: 14 500/1.166 = 12 431.41 → Σ = 25 857.34

年度 3: 14 500/1.26 = 11 510.57 → Σ = 37 367.91

年度 4: 14 500/1.36 = 10 657.93 → Σ = 48 025.84

年度 5: 14 500/1.469 = 9 868.46 → Σ = 57 894.30

最後の年の端数

DPB = 4 + 1 974.16/9 868.46 = 4.2

答え

DPB = 4.2 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.448 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: r* = 4.802 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 4 500 − 3 500 = 1 000

ΔCF₃ = 6 500 − 2 500 = 4 000

差の IRR

NPV_Δ(4%) = 76.70

NPV_Δ(5%) = −18.57

r* = 4.802%

答え

r* = 4.802%

確認：4.802% では両方の NPV が €606.49 です。

29.正規分布

答え: P = 0.756

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (88 − 100)/15 = −0.8

z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85

間の面積

P = Φ(1.85) − Φ(−0.8) = 0.9678 − 0.2119 = 0.756

答え

P = 0.756

30.正規分布

答え: x = 124.7 点

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

x に戻す

x = 100 + 1.645·15 = 124.67 点

答え

x = 124.67 点

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