FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 6 mP₁ = 55 kN 位置 3 mP₂ = 40 kN 位置 5 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 6 mP = 30 kN 位置 3 mw = 4 kN/m（1 から 5 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 35 kN

F_AC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

D: 10 kN ↓F: 35 kN ↓G: 30 kN ↓H: 15 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 2 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

35 kN @ 0 m60 kN @ 12 m10 kN @ 8 m8 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θ_A をラジアンで求めよ。

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント I_req を求めよ。

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 40 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 40 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 200 mm の底板と、全高 200 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 18 mm である。下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。

b = 200 mmh = 200 mmt = 18 mm

ȳ = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 30 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_下端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 3 m の過圧密粘土層の C_c = 0.3、C_r = 0.02、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 75 kPa であり、過圧密比は OCR = 2.5 である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 190 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 3 mC_c = 0.3C_r = 0.02e₀ = 0.95σ′₀ = 75 kPaOCR = 2.5Δσ = 190 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 7 m の粘土層の圧密係数は c_v = 2.5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 60% に対する時間係数は T_v = 0.287 である。この層が圧密度 60% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 7 mc_v = 2.5 m²/年度U = 60%T_v = 0.287両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 1000 m、内径 75 mm の水平管内を 2.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.4 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 15 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の仕上げたコンクリートの水路の幅は 4 m である。水は水深 0.9 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.012、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 4 my = 0.9 mn = 0.012S = 0.005

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 450 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.75 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 450 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 62 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送っている。ポンプ効率は 72%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 20 L/sH = 62 mη_pump = 72%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 22 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 600 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 150 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 22 mL = 600 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 3.6%、月複利で €2 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 0003.6% / 12n = 10

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

30 年間、毎年初めに €2 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 4% です。30 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €2 000i = 4%n = 30

FV = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、5 年間、毎年末に €14 000 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000CF₃ = 14 000CF₄ = 14 000CF₅ = 14 000

DPB = 年

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €19 500, €35 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 500CF₂ = 35 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。178 から 188.5 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 188.5

P =

30.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの上位 20% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点20%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 34.17 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3 + 40·5

R_B = 365/6 = 60.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 60.83 = 34.17 kN

答え

R_A = 34.17 kN

2.はりの支点反力

答え: R_B = 23 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·3 + 4·4·3

R_B = 138/6 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 23 = 23 kN

答え

R_B = 23 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AC = 13.13 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26.25 = 8.75 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26.25/0.8944 = −29.35 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−29.35)·0.4472 = 13.13 kN

答え

F_AC = 13.13 kN (引張)

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 47.08 kN (T), BC: 62.5 kN (T), CD: 62.5 kN (T), DE: 37.92 kN (T), FG: 62.08 kN (C), GH: 52.92 kN (C), AF: 77.6 kN (C), HE: 47.4 kN (C), BF: 11.56 kN (T), CG: 0, DH: 28.44 kN (T), BG: 19.27 kN (C), DG: 30.73 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 71.67 kN, R₂ = 23.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 143.3, M_C = 186.7 kN·m, M_D = 140, M_E = 93.33, M_F = 46.67, M_G = 0

答え

点 C: M_C = 186.7 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: F (x = 10 m)

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 63.25 kN, R₂ = 105.8 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = −70, M_C = −29.5, M_D = −21, M_E = −44.5, M_F = −120 kN·m, M_G = 0

答え

点 F: M_F = −120 kN·m

7.はりのたわみ

答え: θ_A = 0.004 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

端部のたわみ角

θ_A = wL³/(24EI) = 6·8000³/(24·3.2 × 10¹³) = 0.004 rad

答え

θ_A = 0.004 rad

これは 0.2292° です。

8.はりのたわみ

答え: I_req = 16.74 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·70000·13.89) = 1.674 × 10⁷ mm⁴

I_req = 16.74 × 10⁶ mm⁴

答え

I_req = 16.74 × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈

答え: P_cr = 15.5 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15.5 kN

答え

P_cr = 15.5 kN

10.柱の座屈

答え: d = 45.08 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·40000 = 100000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 45.08 mm

答え

d = 45.08 mm

確認：細長比 KL/r は 177.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: ȳ = 73.54 mm

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A₁ = 200·18 = 3600 mm², y₁ = 9 mm

2 本の脚: A₂ = 2·18·182 = 6552 mm², y₂ = 18 + 182/2 = 109 mm

図心

ȳ = (3600·9 + 6552·109)/10152 = 73.54 mm

答え

ȳ = 73.54 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 79.01 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

ウェブ: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·270 + 5200·130)/8800 = 187.3 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·20³/12 + 3600·(270 − 187.3)² = 2.476 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 20·260³/12 + 5200·(130 − 187.3)² = 4.635 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.476 × 10⁷ + 4.635 × 10⁷ = 7.111 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 187.3 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·187.3/7.111 × 10⁷ = 79.01 MPa

答え

σ_下端 = 79.01 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 100.4 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·3 + 20·5 = 149.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 149.5 − 49.05 = 100.4 kPa

答え

σ′ = 100.4 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 136.5 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 16·3 + 18.5·1 + 17.5·4 = 136.5 kPa

答え

σ = 136.5 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 81.59 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2.5·75 = 187.5 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 75 + 190 = 265 kPa > 187.5 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.02·3/(1 + 0.95)·log₁₀(187.5/75) + 0.3·3/(1 + 0.95)·log₁₀(265/187.5)

S = 12.24 + 69.34 = 81.59 mm

答え

S = 81.59 mm

16.圧密沈下

答え: t = 1.406 年

排水距離

H_dr = H/2 = 7/2 = 3.5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.287·3.5²/2.5 = 1.406 年

答え

t = 1.406 年

17.静水圧

答え: F = 323.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·6 = 323.7 kN

答え

F = 323.7 kN

18.静水圧

答え: F = 48.56 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.25·4.5 = 48.56 kN

答え

F = 48.56 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 691.2 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(1000/0.075)·2.4²/(2·9.81) = 70.46 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·70.46 = 691200 Pa = 691.2 kPa

答え

Δp = 691.2 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 3.551 m

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失係数

f·L/D = 0.015·100/0.1 = 15

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

全損失水頭

h_f = 15·0.1859 = 2.789 m

h_m = 4.1·0.1859 = 0.7622 m

Δz = h_f + h_m = 3.551 m

答え

Δz = 3.551 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 15.44 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 4·0.9 = 3.6 m²

P = b + 2y = 4 + 2·0.9 = 5.8 m

R = A/P = 0.6207 m

速度

V = (1/0.012)·0.6207^2/3·0.005^1/2 = 4.288 m/s

流量

Q = A·V = 3.6·4.288 = 15.44 m³/s

答え

Q = 15.44 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.00175 m/m

径深

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.233)² = 0.00175

答え

S = 0.00175

これは 1 km あたり 1.75 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 19.2 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·62 = 12.16 kW

軸動力

P_shaft = 12.16/0.72 = 16.9 kW

電力

P_el = 16.9/0.88 = 19.2 kW

答え

P_el = 19.2 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 76.46 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (88 + 8)·0.408 = 39.17 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 22 + 15.29 + 39.17 = 76.46 m

答え

H = 76.46 m

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 2865 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·10 = 120

将来価値

FV = 2 000·(1 + 0.003)¹²⁰ = 2 000·1.433 = €2 865.11

答え

FV = €2 865.11

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 116657 €

通常の年金係数

((1 + 0.04)³⁰ − 1)/0.04 = 56.08

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 2 000·56.08·1.04 = €116 656.67

答え

FV = €116 656.67

27.NPV と IRR

答え: DPB = 4.381 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 14 000/1.08 = 12 962.96 → Σ = 12 962.96

年度 2: 14 000/1.166 = 12 002.74 → Σ = 24 965.71

年度 3: 14 000/1.26 = 11 113.65 → Σ = 36 079.36

年度 4: 14 000/1.36 = 10 290.42 → Σ = 46 369.78

年度 5: 14 000/1.469 = 9 528.16 → Σ = 55 897.94

最後の年の端数

DPB = 4 + 3 630.22/9 528.16 = 4.381

答え

DPB = 4.381 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.571 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 5.408 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(5%) = 317.46

NPV(10%) = −3 347.11

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 5 + 5·317.46/(317.46 − (−3 347.11)) = 5.433%

正確な値: NPV(5.408%) = 0 → IRR = 5.408%

答え

IRR = 5.408%

29.正規分布

答え: P = 0.4332

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (188.5 − 178)/7 = 1.5

間の面積

P = Φ(1.5) − Φ(0) = 0.9332 − 0.5 = 0.4332

答え

P = 0.4332

30.正規分布

答え: x = 73.4 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.8

表からの z

z ≈ 0.84

元の単位に戻す

x = 65 + 0.84·10 = 73.4 点

答え

x = 73.4 点

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