はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
FE Civil 試験対策：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
地盤の有効応力
- 全応力
- σ = Σγi·hi
- 間隙水圧
- u = γw·(z − zw)
- 有効応力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
圧密沈下
- 正規圧密
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最終応力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 過圧密、σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 過圧密、σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 過圧密比
- OCR = σ′p/σ′0
- 圧密時間
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水距離
- Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
- 時間係数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 6 mP1 = 35 kN 位置 1 mP2 = 25 kN 位置 3 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 4 mP = 60 kN 位置 1 mw = 8 kN/m（1 から 3 m まで）
RB = kN
3.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 15 kN ↓C: 15 kN ↓G: 30 kN ↓H: 25 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 FC
- 13部材 HC
4.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 15 kN →
FBC = kN
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
15 kN @ 3 m8 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 7.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mP = 20 kN 位置 7 mw = 2 kN/m（0 から 10 m まで）x = 7.5 m
Mx = kN·m
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。
P = 14 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
11.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 156 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mm穴の中心: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 120 mm、厚さ 12 mm、全高は 300 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 150 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。
B = 120 mmH = 300 mmtf = 12 mmtw = 6 mmM = 150 kN·m
σj = MPa
13.地盤の有効応力ふつう
図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。
z = 8 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 17 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。
z = 8 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³粘土: γsat = 18 kN/m³
σ′ = kPa
15.圧密沈下ふつう
厚さ 2 m の過圧密粘土層の Cc = 0.3、Cr = 0.03、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 100 kPa であり、 圧密降伏応力は 160 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 130 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。
H = 2 mCc = 0.3Cr = 0.03e0 = 0.95σ′0 = 100 kPaσ′p = 160 kPaΔσ = 130 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 19 mm の粘土供試体が 12 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 7.5 m の層をなしている。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。 現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。
hlab = 19 mmtlab = 12 minH = 7.5 m現場：両面排水
t = 日
17.静水圧ふつう
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 50 m、内径 75 mm の水平管内を 3 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 3 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 10 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 10 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
内径 1200 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.0005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
D = 1200 mmn = 0.013S = 0.0005
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
幅 1.5 m の長方形の仕上げたコンクリートの水路は、 水深 1.4 m の等流で 5.9 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.012。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 5.9 m³/sb = 1.5 my = 1.4 mn = 0.012
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 54 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送り、そのとき軸動力は 99.3 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 150 L/sH = 54 mPshaft = 99.3 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 80 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 4
H = m
25.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €20 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 7% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €20 000g = 1%r = 7%
PV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
年 3%、月複利で €25 000 を借り、毎月末に €750 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €25 000A = €7503% / 12
N = 回
27.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €14 500, €10 000, €14 000, €18 000 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 8%CF0 = −40 000CF1 = 14 500CF2 = 10 000CF3 = 14 000CF4 = 18 000
DPB = 年
28.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €3 500, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €12 000 で、€3 000, €5 000, €6 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −10 000, 5 500, 3 500, 2 500B: −12 000, 3 000, 5 000, 6 000
r* = %
29.正規分布ふつう
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。172.75 から 190.95 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 178σ = 7x1 = 172.75x2 = 190.95
P =
30.正規分布むずかしい
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 20% がそれより下にある値 x（第 20 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 18.33 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·6 = 35·1 + 25·3
RB = 110/6 = 18.33 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 18.33 = 41.67 kN
答え
RB = 18.33 kN
2.はりの支点反力
答え: RB = 23 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1 + 8·2·2
RB = 92/4 = 23 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 23 = 53 kN
答え
RB = 23 kN
3.トラス：節点法
答え: 部材 DH
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 D
CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 56.57 kN (C), HE: 63.64 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 35.36 kN (T), HC: 28.28 kN (T)
答え
ゼロ部材: DH
4.トラス：節点法
答え: FBC = −33.54 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·6 = 30·4 + 15·4 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 30 = 0 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0.8944 = −33.54 kN
答え
FBC = −33.54 kN (圧縮)
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 3 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 31.5 kN, R2 = 31.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 27.5, MC = 47, MD = 58.5 kN·m, ME = 47, MF = 27.5, MG = 0
答え
点 D: MD = 58.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 53.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·7 + 2·10·5
RB = 240/10 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 24 = 16 kN
x = 7.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 16·7.5 − 20·(7.5 − 7) − 2·7.5·3.75 = 53.75 kN·m
答え
Mx = 53.75 kN·m
7.はりのたわみ
答え: δmax = 3.083 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 3.083 mm
答え
δmax = 3.083 mm
8.はりのたわみ
答え: δmid = 32.41 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 14000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
中央たわみ
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 14000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·3.96 × 10¹¹) = 32.41 mm
答え
δmid = 32.41 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 49.35 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3000² = 49348 N = 49.35 kN
答え
Pcr = 49.35 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 4.318 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答え
σcr = 4.318 MPa
11.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·120 − 1257·156)/(24000 − 1257) = 118 mm
ȳ まわりの全体の板
100·240³/12 + 24000·1.989² = 115.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·40⁴/64 + 1257·37.99² = 1.939 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント
答え: σj = 294.6 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 300 − 2·12 = 276 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·300³ − 114·276³)/12
Ix = 7.027 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
y = 150 − 12 = 138 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁸·138/7.027 × 10⁷ = 294.6 MPa
答え
σj = 294.6 MPa
13.地盤の有効応力
答え: σ′ = 96.95 kPa
有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。
全応力
X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·3 + 19·5 = 146 kPa
間隙水圧
水圧は地下水位からの深さとともに増えます。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有効応力
σ′ = σ − u = 146 − 49.05 = 96.95 kPa
答え
σ′ = 96.95 kPa
14.地盤の有効応力
答え: σ′ = 91.95 kPa
有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。
全応力
X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。
σ = γd·3 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3
σ = 16·3 + 19.5·2 + 18·3 = 141 kPa
間隙水圧
水圧は地下水位からの深さとともに増えます。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有効応力
σ′ = σ − u = 141 − 49.05 = 91.95 kPa
答え
σ′ = 91.95 kPa
15.圧密沈下
答え: S = 54.78 mm
厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。
圧密降伏応力と比べる
σ′f = 100 + 130 = 230 kPa > 160 kPa
沈下量
σ′p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。
S = 0.03·2/(1 + 0.95)·log₁₀(160/100) + 0.3·2/(1 + 0.95)·log₁₀(230/160)
S = 6.281 + 48.49 = 54.78 mm
答え
S = 54.78 mm
16.圧密沈下
答え: t = 1298 日
厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。
排水距離
Hdr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m
Hdr,field = 7.5/2 = 3.75 m
時間を換算する
t = Tv·Hdr²/cv。T_v と cv は室内と現場で同じです。
tfield = 12·(3.75/0.0095)² = 1.87 × 10⁶ min
tfield = 1.87 × 10⁶/1440 = 1298 日
答え
t = 1298 日
17.静水圧
答え: F = 47.82 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·1.5 = 47.82 kN
答え
F = 47.82 kN
18.静水圧
答え: F = 30.17 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1·3 = 30.17 kN
答え
F = 30.17 kN
19.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 75 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(50/0.075)·3²/(2·9.81) = 7.645 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·7.645 = 75000 Pa = 75 kPa
答え
Δp = 75 kPa
20.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 2.859 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s
V²/(2g) = 0.08263 m
損失係数
f·L/D = 0.015·150/0.1 = 22.5
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
全損失水頭
hf = 22.5·0.08263 = 1.859 m
hm = 12.1·0.08263 = 0.9998 m
Δz = hf + hm = 2.859 m
答え
Δz = 2.859 m
21.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 0.4359 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = 0.5655 m², R = D/4 = 0.3 m
速度
V = (1/0.013)·0.32/3·0.00051/2 = 0.7708 m/s
流量
Q = A·V = 0.5655·0.7708 = 0.4359 m³/s
答え
Q = 0.4359 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.002955 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 1.5·1.4 = 2.1 m²
P = b + 2y = 1.5 + 2·1.4 = 4.3 m
R = A/P = 0.4884 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·5.9/(2.1·0.6202) = 0.05436
S = 0.05436² = 0.002955
答え
S = 0.002955
これは 1 km あたり 2.955 m の落差です。
23.ポンプとポンプ動力
答え: η = 80.02 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·54 = 79.46 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 79.46/99.3 = 80.02%
答え
η = 80.02%
24.ポンプとポンプ動力
答え: H = 17.24 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 4)·0.3305 = 11.24 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 6 + 11.24 = 17.24 m
答え
H = 17.24 m
25.貨幣の時間価値
答え: PV = 333333 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 20 000/(0.07 − 0.01) = 20 000/0.06 = €333 333.33
答え
PV = €333 333.33
26.貨幣の時間価値
答え: N = 35 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.0025
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0.0025/750 = 0.9167
対数を使って解く
N = −ln(0.9167)/ln(1.002) = 34.85
返済回数を整数に切り上げる
34 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
N = 35
答え
N = 35 回
27.NPV と IRR
答え: DPB = 3.521 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 14 500/1.08 = 13 425.93 → Σ = 13 425.93
年度 2: 10 000/1.166 = 8 573.39 → Σ = 21 999.31
年度 3: 14 000/1.26 = 11 113.65 → Σ = 33 112.97
年度 4: 18 000/1.36 = 13 230.54 → Σ = 46 343.50
最後の年の端数
DPB = 3 + 6 887.03/13 230.54 = 3.521
答え
DPB = 3.521 年
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.083 年）より長くなります。
28.NPV と IRR
答え: r* = 5.034 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 3 500 = 1 500
ΔCF3 = 6 000 − 2 500 = 3 500
差の IRR
NPVΔ(5%) = 3.02
NPVΔ(6%) = −84.83
r* = 5.034%
答え
r* = 5.034%
確認：5.034% では両方の NPV が €566.49 です。
29.正規分布
答え: P = 0.7412
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (172.75 − 178)/7 = −0.75
z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85
間の面積
P = Φ(1.85) − Φ(−0.75) = 0.9678 − 0.2266 = 0.7412
答え
P = 0.7412
30.正規分布
答え: x = 26.95 min
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
x に戻す
x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min
答え
x = 26.95 min
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