FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 4 mP₁ = 50 kN 位置 1 mP₂ = 40 kN 位置 2 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 8 mP = 30 kN 位置 7 mw = 6 kN/m（2 から 4 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 7 m鉛直荷重 = 50 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 20 kN →

F_AB = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 4 kN/m（0 から 10 m まで）x = 4.5 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 40 kN 位置 3.5 mw = 5 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3.5 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 27 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

100 mm × 150 mm の板に、幅 30 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 60 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 150 mm切り欠き: 30 × 40 mm穴の中心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 12 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 10 mz_w = 5 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³粘土: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 7.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.4、C_r = 0.03、e₀ = 1.1 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、圧密降伏応力は 180 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 65 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7.5 mC_c = 0.4C_r = 0.03e₀ = 1.1σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 65 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 20 mm の粘土供試体が 4 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 6.5 m の層をなしている。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 20 mmt_lab = 4 minH = 6.5 m現場：片面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 150 m、内径 200 mm の管内を平均流速 2.7 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 2.7 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 80 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 80 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 300 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 300 mmn = 0.013S = 0.003

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 600 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.75 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 600 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 70% のポンプが揚程 28 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 100 L/sH = 28 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 15 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 9 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 75% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 15 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.025ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 5%、月複利で €5 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €5 0005% / 12n = 10

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

12 年後に €25 000 が欲しいとします。年 3.6%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €25 0003.6% / 12N = 144

A = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €400 000 です。1 年目の末に €29 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 4% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €400 000CF₁ = €29 000g = 4%r = 12%

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €10 000, €11 500, €10 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 11 500CF₃ = 10 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 762.3 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762.3 g

P =

30.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの下位 30% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点30%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 57.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1 + 40·2

R_B = 130/4 = 32.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 32.5 = 57.5 kN

答え

R_A = 57.5 kN

2.はりの支点反力

答え: R_B = 30.75 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·7 + 6·2·3

R_B = 246/8 = 30.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 30.75 = 11.25 kN

答え

R_B = 30.75 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −22.75 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·7 → C_y = 43.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 43.75 = 6.25 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/7.28 = 0.2747

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6.25/0.2747 = −22.75 kN

答え

F_AB = −22.75 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_AB = −2.577 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 + 20·4 → C_y = 27.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 27.5 = 2.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2.5/0.9701 = −2.577 kN

答え

F_AB = −2.577 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 49.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

x = 4.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 20·4.5 − 4·4.5·2.25 = 49.5 kN·m

答え

M_x = 49.5 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 55.13 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3.5 + 5·5·2.5

R_B = 202.5/5 = 40.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 40.5 = 24.5 kN

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 24.5·3.5 − 5·3.5·1.75 = 55.13 kN·m

答え

M_x = 55.13 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 2.312 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 2.312 mm

答え

δ_max = 2.312 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 2.892 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 27000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·2000³/(48·1.7 × 10¹²) = 2.647 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 0.2451 mm

足し合わせる

δ_max = 2.647 + 0.2451 = 2.892 mm

答え

δ_max = 2.892 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 225 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN

答え

P_cr = 225 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 35.25 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/15 = 140

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

答え

σ_cr = 35.25 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 9.081 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

ウェブ: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·135 + 1680·60)/5880 = 113.6 mm

平行軸の定理

フランジ: 140·30³/12 + 4200·(135 − 113.6)² = 2.244 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 14·120³/12 + 1680·(60 − 113.6)² = 6.837 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.244 × 10⁶ + 6.837 × 10⁶ = 9.081 × 10⁶ mm⁴ = 9.081 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 9.081 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 27.67 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (15000·75 − 1200·60)/(15000 − 1200) = 76.3 mm

ȳ まわりの全体の板

100·150³/12 + 15000·−1.304² = 28.15 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·40³/12 + 1200·−16.3² = 0.479 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 27.67 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 27.67 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 130.7 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 19·9 = 219 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·9 = 88.29 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 219 − 88.29 = 130.7 kPa

答え

σ′ = 130.7 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 49.05 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

答え

u = 49.05 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 25.3 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 65 = 155 kPa ≤ 180 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.03·7.5/(1 + 1.1)·log₁₀(155/90) = 25.3 mm

答え

S = 25.3 mm

16.圧密沈下

答え: t = 1174 日

排水距離

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 6.5 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 4·(6.5/0.01)² = 1.69 × 10⁶ min

t_field = 1.69 × 10⁶/1440 = 1174 日

答え

t = 1174 日

17.静水圧

答え: F = 275.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·7.5 = 275.9 kN

答え

F = 275.9 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 3.714 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.5·6 = 181.3 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 4.5/(3.5·6) = 3.714 m

答え

y_cp = 3.714 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 5.573 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 2.7²/(2·9.81) = 0.3716 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(150/0.2)·2.7²/(2·9.81) = 5.573 m

答え

h_f = 5.573 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 1.462 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

損失係数

f·L/D = 0.015·200/0.3 = 10

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

全損失水頭

h_f = 10·0.06529 = 0.6529 m

h_m = 12.4·0.06529 = 0.8095 m

Δz = h_f + h_m = 1.462 m

答え

Δz = 1.462 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.05297 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m

速度

V = (1/0.013)·0.075^2/3·0.003^1/2 = 0.7493 m/s

流量

Q = A·V = 0.07069·0.7493 = 0.05297 m³/s

答え

Q = 0.05297 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001193 m/m

径深

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.2823)² = 0.001193

答え

S = 0.001193

これは 1 km あたり 1.193 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 39.24 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·28 = 27.47 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 27.47/0.7 = 39.24 kW

答え

P_shaft = 39.24 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 2.897 kW

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 6)·0.1859 = 5.763 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 9 + 5.763 = 14.76 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.015·14.76/0.75 = 2.897 kW

答え

P_shaft = 2.897 kW

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 8235 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.05/12 = 0.004167

N = m·n = 12·10 = 120

将来価値

FV = 5 000·(1 + 0.004167)¹²⁰ = 5 000·1.647 = €8 235.05

答え

FV = €8 235.05

26.貨幣の時間価値

答え: A = 139.1 €

月利と積立回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·12 = 144

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0.003/(1.539 − 1) = €139.06

答え

A = €139.06

27.NPV と IRR

答え: NPV = −37500 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 29 000/(0.12 − 0.04) = 362 500.00

NPV

NPV = 362 500.00 − 400 000 = −€37 500.00

答え

NPV = −€37 500.00

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 27.44 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 736.00

NPV(30%) = −723.71

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·736.00/(736.00 − (−723.71)) = 27.52%

正確な値: NPV(27.44%) = 0 → IRR = 27.44%

答え

IRR = 27.44%

29.正規分布

答え: P = 0.1056

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

標準化する

z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25

上側確率

P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056

答え

P = 0.1056

30.正規分布

答え: x = 59.8 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.3

表からの z

z ≈ −0.52

元の単位に戻す

x = 65 − 0.52·10 = 59.8 点

答え

x = 59.8 点

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