FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 5 m の位置に集中荷重 P が、A から 0.5 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_B を求めよ。

L = 6 mP = 25 kN 位置 5 mM = 50 kN·m (反時計回り) 位置 0.5 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 4 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 10 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 8 m の位置の集中荷重 P, 部分 CD 全体の等分布荷重 w および A から 1 m の位置の集中荷重 Q である。ローラーの反力 R_D を求めよ。

AC = 4 mAD = 10 mP = 60 kN 位置 8 mw = 12 kN/m（4 から 10 m まで）Q = 55 kN 位置 1 m

R_D = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 25 kN ↓C: 10 kN ↓F: 35 kN ↓G: 20 kN ↓H: 25 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

G: 35 kN ↓H: 15 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 0.5 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 x_c を求めよ。

L = 8.5 mw = 4 kN/m（0 から 8.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m

x_c = m

7.はりのたわみふつう

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。自由端 B のたわみ δ_B を求めよ。

P = 13 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント I_req を求めよ。

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 135 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 135 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 180 mm の底板と、全高 80 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 14 mm である。下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。

b = 180 mmh = 80 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 40 MPa、圧縮で 90 MPa である。はりが負担できる最大の正の曲げモーメント M_allow を求めよ。

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 6.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 7.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.2、C_r = 0.06、e₀ = 0.85 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、過圧密比は OCR = 2 である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 160 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7.5 mC_c = 0.2C_r = 0.06e₀ = 0.85σ′₀ = 90 kPaOCR = 2Δσ = 160 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 2.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 1.5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 80% に対する時間係数は T_v = 0.567 である。この層が圧密度 80% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 2.5 mc_v = 1.5 m²/年度U = 80%T_v = 0.567両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 500 m、内径 300 mm の水平管内を 1.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.028、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.4 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 400 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 75 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 75 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形の仕上げのないコンクリートの水路の底幅は 5.5 m、側面勾配は 3:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.3 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 5.5 my = 1.3 mz = 3n = 0.014S = 0.005

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 4.5 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、水深 2.1 m の等流で 34 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 34 m³/sb = 4.5 my = 2.1 mz = 2n = 0.025

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 70% のポンプが揚程 18 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 20 L/sH = 18 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 70% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 4η = 70%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

10 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 3%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €5 0003% / 4n = 10

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€250 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €250 0006% / 12N = 300

A = €

27.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€19 000, €18 000, €21 000, €28 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 18 000CF₃ = 21 000CF₄ = 28 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €18 500, €26 500, €14 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 500CF₂ = 26 500CF₃ = 14 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

セメント袋の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 6 個の合計質量が 148.8 kg を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6< 148.8 kg

P =

30.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの上位 25% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点25%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 12.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·6 − 25·5 + 50 = 0

R_B = 75/6 = 12.5 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 25 − 12.5 = 12.5 kN

答え

R_B = 12.5 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: R_D = 76 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

W = 12·6 = 72 kN 位置 3 m 起点 C

ΣM_C = 0: R_D·6 = 60·4 + 72·3

R_D = 76 kN

V_C = 132 − 76 = 56 kN

答え

R_D = 76 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 DH

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 D

CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 88.33 kN (T), BC: 88.33 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 65 kN (T), FG: 96.67 kN (C), GH: 96.67 kN (C), AF: 110.4 kN (C), HE: 81.25 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 10.42 kN (T), HC: 39.58 kN (T)

答え

ゼロ部材: DH

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 6.25 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 13.75 kN (T), FG: 21.25 kN (C), GH: 28.75 kN (C), AF: 30.05 kN (C), HE: 19.45 kN (C), BF: 21.25 kN (T), CG: 0, DH: 13.75 kN (T), BG: 30.05 kN (C), DG: 19.45 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 8.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

x = 0.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 18·0.5 − 6·0.5·0.25 = 8.25 kN·m

答え

M_x = 8.25 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: x_c = 4.958 m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·8.5 = 34 kN、作用点 x̄ = 4.25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·8.5·4.25

R_B = 144.5/6 = 24.08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 24.08 = 9.917 kN

モーメント 0 の位置

支点間では M(x) = R_A·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2R_A/w で 0 になります。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9.917/4 = 4.958 m

答え

x_c = 4.958 m

7.はりのたわみ

答え: δ_B = 1.548 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 13000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δ_P = Pa³/(3EI) = 0.3869 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0005804 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.548 mm

答え

δ_B = 1.548 mm

8.はりのたわみ

答え: I_req = 54.55 × 10⁶ mm⁴

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·11.11) = 5.455 × 10⁷ mm⁴

I_req = 54.55 × 10⁶ mm⁴

答え

I_req = 54.55 × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈

答え: P_cr = 22.49 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1000 = 2000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/2000² = 22489 N = 22.49 kN

答え

P_cr = 22.49 kN

10.柱の座屈

答え: d = 65.52 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 65.52 mm

答え

d = 65.52 mm

確認：細長比 KL/r は 128.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: ȳ = 23.92 mm

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A₁ = 180·14 = 2520 mm², y₁ = 7 mm

2 本の脚: A₂ = 2·14·66 = 1848 mm², y₂ = 14 + 66/2 = 47 mm

図心

ȳ = (2520·7 + 1848·47)/4368 = 23.92 mm

答え

ȳ = 23.92 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: M_allow = 8.164 kN·m

図心

ȳ = (3000·247.5 + 2880·120)/5880 = 185.1 mm

上縁: c = 255 − 185.1 = 69.95 mm

断面二次モーメント

I = 200·15³/12 + 3000·62.45² + 12·240³/12 + 2880·65.05² = 3.777 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。

上縁: M = 90·3.777 × 10⁷/69.95 = 48.59 kN·m

下縁: M = 40·3.777 × 10⁷/185.1 = 8.164 kN·m

決定値

M_allow = min = 8.164 kN·m (下縁)

答え

M_allow = 8.164 kN·m

13.地盤の有効応力

答え: u = 29.43 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

答え

u = 29.43 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 44.15 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

答え

u = 44.15 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 188.9 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·90 = 180 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 160 = 250 kPa > 180 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.06·7.5/(1 + 0.85)·log₁₀(180/90) + 0.2·7.5/(1 + 0.85)·log₁₀(250/180)

S = 73.22 + 115.7 = 188.9 mm

答え

S = 188.9 mm

16.圧密沈下

答え: t = 0.5906 年

排水距離

H_dr = H/2 = 2.5/2 = 1.25 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·1.25²/1.5 = 0.5906 年

答え

t = 0.5906 年

17.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 4.667 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·9 = 500.6 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 6.75/(4.5·9) = 4.667 m

答え

y_cp = 4.667 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 45.73 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(500/0.3)·1.4²/(2·9.81) = 4.662 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·4.662 = 45733 Pa = 45.73 kPa

答え

Δp = 45.73 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 1.8 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

V²/(2g) = 0.05738 m

損失係数

f·L/D = 0.02·400/0.3 = 26.67

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 26.67 + 3.7)·0.05738 = 1.8 m

答え

H = 1.8 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 57.13 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 3·1.3)·1.3 = 12.22 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1.3·√(1 + 3²) = 13.72 m

R = A/P = 0.8905 m

速度

V = (1/0.014)·0.8905^2/3·0.005^1/2 = 4.675 m/s

流量

Q = A·V = 12.22·4.675 = 57.13 m³/s

答え

Q = 57.13 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001502 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 2·2.1)·2.1 = 18.27 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·2.1·√(1 + 2²) = 13.89 m

R = A/P = 1.315 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·34/(18.27·1.2) = 0.03876

S = 0.03876² = 0.001502

答え

S = 0.001502

これは 1 km あたり 1.502 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 5.045 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·18 = 3.532 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 3.532/0.7 = 5.045 kW

答え

P_shaft = 5.045 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 9.491 kW

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s

V²/(2g) = 0.1354 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (21.6 + 4)·0.1354 = 3.466 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 5 + 3.466 = 8.466 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·8.466/0.7 = 9.491 kW

答え

P_shaft = 9.491 kW

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 3708 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.03/4 = 0.0075

N = 4·10 = 40

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.348 = €3 708.24

答え

PV = €3 708.24

26.貨幣の時間価値

答え: A = 1611 €

月利と返済回数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·25 = 300

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.224

A = 250 000·0.005/(1 − 0.224) = €1 610.75

答え

A = €1 610.75

27.NPV と IRR

答え: NPV = 4056 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 19 000/1.12 = 16 964.29

CF₂/(1 + 0.12)² = 18 000/1.254 = 14 349.49

CF₃/(1 + 0.12)³ = 21 000/1.405 = 14 947.39

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 28 000/1.574 = 17 794.51

合計する

NPV = €4 055.67

答え

NPV = €4 055.67

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 23.59 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 2 210.65

NPV(25%) = −816.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·2 210.65/(2 210.65 − (−816.00)) = 23.65%

正確な値: NPV(23.59%) = 0 → IRR = 23.59%

答え

IRR = 23.59%

29.正規分布

答え: P = 0.1635

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 150 kg, σ_T = 0.5·√6 = 1.225 kg

標準化する

z = (148.8 − 150)/1.225 = −0.98

確率

P = Φ(−0.98) = 0.1635

答え

P = 0.1635

30.正規分布

答え: x = 71.7 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.75

表からの z

z ≈ 0.67

元の単位に戻す

x = 65 + 0.67·10 = 71.7 点

答え

x = 71.7 点

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