FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

はりは A でピン支点、A から 2.5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 R_B を求めよ。

AB = 2.5 mAC = 4 mP₁ = 50 kN 位置 2 mP₂ = 50 kN 位置 4 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 4 mP = 35 kN 位置 2 mw = 10 kN/m（1 から 2 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 15 kN ↓C: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 40 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 20 kN ↓D: 25 kN ↓F: 15 kN ↓H: 20 kN ↓H: 20 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

5.せん断力と曲げモーメントふつう

単純ばりに、A から x = 2.5 m の位置で時計回りの偶力 M₀ = 35 kN·m が作用し、他の荷重はない。偶力のすぐ右側での曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mM₀ = 35 kN·m 時計回り、位置 2.5 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 10 mP = 80 kN 位置 4 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）

M_max = kN·m

7.はりのたわみふつう

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。自由端 B のたわみ δ_B を求めよ。

P = 19 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.はりのたわみむずかしい

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ h_req を求めよ。

w = 4 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm

h_req = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 150 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 150 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

120 mm × 300 mm の板に、幅 50 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 210 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 120 mmh = 300 mm切り欠き: 50 × 30 mm穴の中心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 6.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.4、C_r = 0.02、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、圧密降伏応力は 190 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 220 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 6.5 mC_c = 0.4C_r = 0.02e₀ = 0.95σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 220 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 7 m の粘土層の圧密係数は c_v = 3 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 60% に対する時間係数は T_v = 0.287 である。この層が圧密度 60% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 7 mc_v = 3 m²/年度U = 60%T_v = 0.287両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 150 m、内径 200 mm の管内を平均流速 2.6 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 2.6 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 30 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 30 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の仕上げたコンクリートの水路の幅は 3.5 m である。水は水深 1.8 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.012、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 3.5 my = 1.8 mn = 0.012S = 0.005

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 1.5 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形の芝で覆われた土の水路は、水深 0.9 m の等流で 1.9 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 1.9 m³/sb = 1.5 my = 0.9 mz = 2n = 0.03

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

試験で、ポンプが揚程 18 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送り、そのとき軸動力は 17.7 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 80 L/sH = 18 mP_shaft = 17.7 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 8 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 350 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 5p_tank = 350 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 22%、半年複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 22%m = 2

EAR = %

26.貨幣の時間価値むずかしい

27 年間、毎年初めに €1 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 3% です。27 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €1 000i = 3%n = 27

FV = €

27.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €60 000 です。4 年間、毎年末に €15 000 を生み、その後 €6 000 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €60 000CF = €15 000S = €6 000n = 4r = 6%

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €6 500 で、9 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €50 000CF₁ = €6 500g = 4%n = 9r = 8%

NPV = €

29.正規分布ふつう

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。49 から 83 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 65σ = 10x₁ = 49x₂ = 83

P =

30.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 90%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 120 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 50·2 + 50·4

R_B = 300/2.5 = 120 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 50 + 50 − 120 = −20 kN

答え

R_B = 120 kN

R_A は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

2.はりの支点反力

答え: R_B = 21.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN、作用点 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2 + 10·1·1.5

R_B = 85/4 = 21.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 21.25 = 23.75 kN

答え

R_B = 21.25 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 G

FG と GH は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 42.19 kN (T), BC: 42.19 kN (T), CD: 36.56 kN (T), DE: 36.56 kN (T), FG: 43.13 kN (C), GH: 43.13 kN (C), AF: 70.31 kN (C), HE: 60.94 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 1.563 kN (T), HC: 10.94 kN (T)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

節点 G

FG と GH は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 22.5 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 37.5 kN (T), DE: 37.5 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 60.1 kN (C), HE: 53.03 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 10.61 kN (T), HC: 10.61 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 13.13 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：R_B·L − M₀ = 0。鉛直方向のつり合い：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 35/4 = 8.75 kN (上向き)

R_A = −R_B = −8.75 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には R_A と偶力が含まれます。

M_x = R_A·a + M₀ = −8.75·2.5 + 35 = 13.13 kN·m

答え

M_x = 13.13 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 264 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 80·4 + 6·10·5

R_B = 620/10 = 62 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 62 = 78 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(4⁻) = R_A − w·4 = 54 kN

V(4⁺) = 54 − 80 = −26 kN

荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 78·4 − 6·4²/2 = 264 kN·m

答え

M_max = 264 kN·m

それは A から x = 4 m の位置に生じます。

7.はりのたわみ

答え: δ_B = 4.147 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 19000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δ_P = Pa³/(3EI) = 0.754 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.001131 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4.147 mm

答え

δ_B = 4.147 mm

8.はりのたわみ

答え: h_req = 227 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

必要な断面二次モーメント

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·9.722) = 7.308 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = I_req → h = (12·7.308 × 10⁷/75)^1/3 = 227 mm

答え

h_req = 227 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: P_cr = 263.2 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2500 = 2500 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2500² = 263189 N = 263.2 kN

答え

P_cr = 263.2 kN

10.柱の座屈

答え: d = 141.3 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·150000 = 375000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 141.3 mm

答え

d = 141.3 mm

確認：細長比 KL/r は 169.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 32.01 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207.5 mm

ウェブ: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·207.5 + 4000·100)/6700 = 143.3 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·15³/12 + 2700·(207.5 − 143.3)² = 1.117 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 20·200³/12 + 4000·(100 − 143.3)² = 2.084 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.117 × 10⁷ + 2.084 × 10⁷ = 3.201 × 10⁷ mm⁴ = 32.01 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 32.01 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 264.3 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (36000·150 − 1500·210)/(36000 − 1500) = 147.4 mm

ȳ まわりの全体の板

120·300³/12 + 36000·2.609² = 270.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

50·30³/12 + 1500·62.61² = 5.992 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 264.3 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 264.3 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ = 127.5 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·4 + 20.5·3 = 127.5 kPa

答え

σ = 127.5 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 49.05 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

答え

u = 49.05 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 305.1 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 220 = 310 kPa > 190 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.02·6.5/(1 + 0.95)·log₁₀(190/90) + 0.4·6.5/(1 + 0.95)·log₁₀(310/190)

S = 21.63 + 283.5 = 305.1 mm

答え

S = 305.1 mm

16.圧密沈下

答え: t = 1.172 年

排水距離

H_dr = H/2 = 7/2 = 3.5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.287·3.5²/3 = 1.172 年

答え

t = 1.172 年

17.静水圧

答え: F = 80.93 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·3 = 80.93 kN

答え

F = 80.93 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 2.375 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·9 = 176.6 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 6.75/(2·9) = 2.375 m

答え

y_cp = 2.375 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 5.168 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 2.6²/(2·9.81) = 0.3445 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(150/0.2)·2.6²/(2·9.81) = 5.168 m

答え

h_f = 5.168 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 3.981 m

速度

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

損失係数

f·L/D = 0.015·200/0.15 = 20

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

全損失水頭

h_f = 20·0.1469 = 2.938 m

h_m = 7.1·0.1469 = 1.043 m

Δz = h_f + h_m = 3.981 m

答え

Δz = 3.981 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 34.28 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 3.5·1.8 = 6.3 m²

P = b + 2y = 3.5 + 2·1.8 = 7.1 m

R = A/P = 0.8873 m

速度

V = (1/0.012)·0.8873^2/3·0.005^1/2 = 5.441 m/s

流量

Q = A·V = 6.3·5.441 = 34.28 m³/s

答え

Q = 34.28 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0008427 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 2·0.9)·0.9 = 2.97 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·0.9·√(1 + 2²) = 5.525 m

R = A/P = 0.5376 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·1.9/(2.97·0.6611) = 0.02903

S = 0.02903² = 0.0008427

答え

S = 0.0008427

これは 1 km あたり 0.8427 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: η = 79.81 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·18 = 14.13 kW

効率

η = P_h/P_shaft = 14.13/17.7 = 79.81%

答え

η = 79.81%

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 51.28 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0.3305 = 7.602 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 35.68 + 7.602 = 51.28 m

答え

H = 51.28 m

25.貨幣の時間価値

答え: EAR = 23.21 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.22/2 = 0.11

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.11)² − 1 = 1.232 − 1 = 23.21%

答え

EAR = 23.21%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 41931 €

通常の年金係数

((1 + 0.03)²⁷ − 1)/0.03 = 40.71

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 1 000·40.71·1.03 = €41 930.92

答え

FV = €41 930.92

27.NPV と IRR

答え: NPV = −3271 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

15 000·3.465 = 51 976.58

残存価値の現在価値

6 000/1.262 = 4 752.56

NPV

NPV = −60 000 + 51 976.58 + 4 752.56 = −€3 270.85

答え

NPV = −€3 270.85

28.NPV と IRR

答え: NPV = −3202 €

成長型年金の現在価値

((1.04)/(1.08))⁹ = 0.712

PV = 6 500/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.712) = 46 798.33

NPV

NPV = 46 798.33 − 50 000 = −€3 201.67

答え

NPV = −€3 201.67

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

29.正規分布

答え: P = 0.9093

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (49 − 65)/10 = −1.6

z₂ = (83 − 65)/10 = 1.8

間の面積

P = Φ(1.8) − Φ(−1.6) = 0.9641 − 0.0548 = 0.9093

答え

P = 0.9093

30.正規分布

答え: x = 119.2 点

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

x に戻す

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 点

答え

x = 119.22 点

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