FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 6 mP₁ = 10 kN 位置 2 mP₂ = 10 kN 位置 3 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 6 mP = 60 kN 位置 1 mw = 6 kN/m（2 から 6 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 25 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

H: 10 kN ↓H: 40 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 10 mP₁ = 35 kN 位置 2 mP₂ = 70 kN 位置 8 m

M_max = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 30 kN 位置 4.5 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4.5 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ h_req を求めよ。

w = 3 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm

h_req = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 50 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 50 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

円管の外径は D = 60 mm、内径は d = 44 mm である。水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 60 mmd = 44 mm

r = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 30 MPa、圧縮で 90 MPa である。はりが負担できる最大の負の曲げモーメント M_allow を求めよ（大きさで答えよ）。

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 3 m の過圧密粘土層の C_c = 0.3、C_r = 0.02、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 115 kPa であり、過圧密比は OCR = 1.5 である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 160 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 3 mC_c = 0.3C_r = 0.02e₀ = 0.95σ′₀ = 115 kPaOCR = 1.5Δσ = 160 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 10 m の粘土層の圧密係数は c_v = 2 m²/年である。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。平均圧密度 70% に対する時間係数は T_v = 0.403 である。この層が圧密度 70% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 10 mc_v = 2 m²/年度U = 70%T_v = 0.403片面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 100 m、内径 100 mm の水平管内を 0.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.028、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 0.9 m/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 200 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 75 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 75 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形のきれいな土の水路の幅は 2 m である。水は水深 0.8 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.022、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2 my = 0.8 mn = 0.022S = 0.002

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 6 m、側面勾配 3:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、水深 0.5 m の等流で 1.8 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 1.8 m³/sb = 6 my = 0.5 mz = 3n = 0.025

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

試験で、ポンプが揚程 44 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送り、そのとき軸動力は 7.9 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 15 L/sH = 44 mP_shaft = 7.9 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 11 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 5

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

3 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 4%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €20 0004% / 12n = 3

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

21 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 3%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €1003% / 12N = 252

FV = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、1 年目から 5 年目の各年末に €9 000, €14 000, €13 500, €13 500, €16 500 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 9 000CF₂ = 14 000CF₃ = 13 500CF₄ = 13 500CF₅ = 16 500

DPB = 年

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €5 000 で、9 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €50 000CF₁ = €5 000g = 5%n = 9r = 10%

NPV = €

29.正規分布ふつう

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。49.5 から 75 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 65σ = 10x₁ = 49.5x₂ = 75

P =

30.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 11.67 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2 + 10·3

R_B = 50/6 = 8.333 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 8.333 = 11.67 kN

答え

R_A = 11.67 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 58 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN、作用点 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 6·4·4

R_B = 156/6 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 26 = 58 kN

答え

R_A = 58 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 DH

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 D

CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 63.64 kN (C), HE: 63.64 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 28.28 kN (T), HC: 28.28 kN (T)

答え

ゼロ部材: DH

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 27.5 kN (C), BC: 15 kN (C), CD: 15 kN (C), DE: 2.5 kN (C), FG: 12.5 kN (C), GH: 37.5 kN (C), AF: 17.68 kN (C), HE: 3.536 kN (T), BF: 12.5 kN (T), CG: 0, DH: 12.5 kN (C), BG: 17.68 kN (C), DG: 17.68 kN (T)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 126 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·2 + 70·8

R_B = 630/10 = 63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 63 = 42 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P₁: M = R_A·2 = 42·2 = 84 kN·m

荷重点 P₂: M = R_B·2 = 63·2 = 126 kN·m

最大値

M_max = 126 kN·m (荷重点 P₂)

答え

M_max = 126 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 54 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4.5 + 6·6·3

R_B = 243/6 = 40.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 40.5 = 25.5 kN

x = 4.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 25.5·4.5 − 6·4.5·2.25 = 54 kN·m

答え

M_x = 54 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 18.75 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 18.75 mm

答え

δ_max = 18.75 mm

8.はりのたわみ

答え: h_req = 223.6 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12.5 mm

必要な断面二次モーメント

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·12.5) = 1.165 × 10⁸ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = I_req → h = (12·1.165 × 10⁸/125)^1/3 = 223.6 mm

答え

h_req = 223.6 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: P_cr = 110.2 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·3000 = 6000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110.2 kN

答え

P_cr = 110.2 kN

10.柱の座屈

答え: d = 51.84 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·50000 = 125000 N

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 51.84 mm

答え

d = 51.84 mm

確認：細長比 KL/r は 108 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: r = 18.6 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 1307 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 452188 mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(452188/1307) = 18.6 mm

答え

r = 18.6 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: M_allow = 10.77 kN·m

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

図心

ȳ = (8400·175 + 1920·80)/10320 = 157.3 mm

上縁: c = 190 − 157.3 = 32.67 mm

断面二次モーメント

I = 280·30³/12 + 8400·17.67² + 12·160³/12 + 1920·77.33² = 1.883 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

負の曲げ：上側は引張、下側は圧縮です。

上縁: M = 30·1.883 × 10⁷/32.67 = 17.29 kN·m

下縁: M = 90·1.883 × 10⁷/157.3 = 10.77 kN·m

決定値

M_allow = min = 10.77 kN·m (下縁)

答え

M_allow = 10.77 kN·m

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 68.76 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·2 + 18.5·4 = 108 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 108 − 39.24 = 68.76 kPa

答え

σ′ = 68.76 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 97.26 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 16·4 + 18.5·1 + 18·3 = 136.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 136.5 − 39.24 = 97.26 kPa

答え

σ′ = 97.26 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 98.9 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1.5·115 = 172.5 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 115 + 160 = 275 kPa > 172.5 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.02·3/(1 + 0.95)·log₁₀(172.5/115) + 0.3·3/(1 + 0.95)·log₁₀(275/172.5)

S = 5.418 + 93.48 = 98.9 mm

答え

S = 98.9 mm

16.圧密沈下

答え: t = 20.15 年

排水距離

H_dr = H = 10 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·10²/2 = 20.15 年

答え

t = 20.15 年

17.静水圧

答え: F = 110.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·5 = 110.4 kN

答え

F = 110.4 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 3.111 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1/(3·3) = 3.111 m

答え

y_cp = 3.111 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 11.34 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(100/0.1)·0.9²/(2·9.81) = 1.156 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·1.156 = 11340 Pa = 11.34 kPa

答え

Δp = 11.34 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 1.096 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

V²/(2g) = 0.05738 m

損失係数

f·L/D = 0.018·200/0.3 = 12

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 12 + 6.1)·0.05738 = 1.096 m

答え

H = 1.096 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 1.894 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 2·0.8 = 1.6 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0.8 = 3.6 m

R = A/P = 0.4444 m

速度

V = (1/0.022)·0.4444^2/3·0.002^1/2 = 1.184 m/s

流量

Q = A·V = 1.6·1.184 = 1.894 m³/s

答え

Q = 1.894 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0004739 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·0.5)·0.5 = 3.75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0.5·√(1 + 3²) = 9.162 m

R = A/P = 0.4093 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·1.8/(3.75·0.5513) = 0.02177

S = 0.02177² = 0.0004739

答え

S = 0.0004739

これは 1 km あたり 0.4739 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: η = 81.96 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·44 = 6.475 kW

効率

η = P_h/P_shaft = 6.475/7.9 = 81.96%

答え

η = 81.96%

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 36.98 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (58.67 + 5)·0.408 = 25.98 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 11 + 25.98 = 36.98 m

答え

H = 36.98 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 17742 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·3 = 36

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.127 = €17 741.95

答え

PV = €17 741.95

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 35045 €

月利と積立回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·21 = 252

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.876 − 1)/0.0025 = €35 045.40

答え

FV = €35 045.40

自分で払い込んだのは €25 200。残りは利息です。

27.NPV と IRR

答え: DPB = 4.086 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 9 000/1.1 = 8 181.82 → Σ = 8 181.82

年度 2: 14 000/1.21 = 11 570.25 → Σ = 19 752.07

年度 3: 13 500/1.331 = 10 142.75 → Σ = 29 894.82

年度 4: 13 500/1.464 = 9 220.68 → Σ = 39 115.50

年度 5: 16 500/1.611 = 10 245.20 → Σ = 49 360.70

最後の年の端数

DPB = 4 + 884.50/10 245.20 = 4.086

答え

DPB = 4.086 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.259 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: NPV = −15791 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

成長型年金の現在価値

((1.05)/(1.1))⁹ = 0.6579

PV = 5 000/(0.1 − 0.05)·(1 − 0.6579) = 34 208.54

NPV

NPV = 34 208.54 − 50 000 = −€15 791.46

答え

NPV = −€15 791.46

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

29.正規分布

答え: P = 0.7808

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (49.5 − 65)/10 = −1.55

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

間の面積

P = Φ(1) − Φ(−1.55) = 0.8413 − 0.06057 = 0.7808

答え

P = 0.7808

30.正規分布

答え: x = 551.3 h

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

x に戻す

x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h

答え

x = 551.26 h

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