流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 1 mH = 3 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 2 mH = 2.5 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 100 mm, p1​ = 390 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水が、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 390 kPa、流速は 1.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 390 kPav1 = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 150 mm, p1​ = 150 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 4 m

水が、150 mm から 50 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 150 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 150 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 0.9 m/sD = 150 mmL = 400 mf = 0.028

水が、長さ 400 m、内径 150 mm の管内を平均流速 0.9 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.028、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

V = 0.9 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5Δz = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0.0183× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 100 L/sH = 28 m

ポンプが揚程 28 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送っている。ポンプ効率は 82%、これを駆動する電動機の効率は 94% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 100 L/sH = 28 mηpump = 82%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 40 L/sΔz = 7 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0.025, ΣK = 8

ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 80% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 8η = 80%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水圧

答え: F = 147.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
ゲートd = 1 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

答え

F = 147.2 kN
2.静水圧

答え: ycp = 3.41 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
ゲートd = 2 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.25·7.5 = 301.3 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.25 + 3.906/(3.25·7.5) = 3.41 m

答え

ycp = 3.41 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 386.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(100/75)² = 3.111 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 3.111²)/1000 = −3.308 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−3.308) = 386.7 kPa

答え

p2 = 386.7 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 100.8 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(150/50)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−10) − 39.24 = 100.8 kPa

答え

p2 = 100.8 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 3.083 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 0.9²/(2·9.81) = 0.04128 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(400/0.15)·0.9²/(2·9.81) = 3.083 m

答え

hf = 3.083 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 0.9624 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m

損失係数

f·L/D = 0.018·150/0.25 = 10.8
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

全損失水頭

hf = 10.8·0.05288 = 0.5711 m
hm = 7.4·0.05288 = 0.3913 m
Δz = hf + hm = 0.9624 m

答え

Δz = 0.9624 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 35.64 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·28 = 27.47 kW

軸動力

Pshaft = 27.47/0.82 = 33.5 kW

電力

Pel = 33.5/0.94 = 35.64 kW

答え

Pel = 35.64 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 8.728 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33.33 + 8)·0.2611 = 10.79 m

ポンプ揚程

H = Δz + hL = 7 + 10.79 = 17.79 m

軸動力

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·17.79/0.8 = 8.728 kW

答え

Pshaft = 8.728 kW

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