流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 2.5 mH = 2 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 1 mH = 2.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
Q = ?d = 50 mm, Cd​ = 0.64h = 3.5 m

大きな開放水槽から、直径 50 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 3.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.64 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 50 mmh = 3.5 mCd = 0.64g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
pair​ = 60 kPaQ = ?d = 30 mmh = 5 m

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 60 kPa の圧縮空気がある。水面より 5 m 下にある直径 30 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

pair = 60 kPa (ゲージ圧)h = 5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1.5 m/sD = 150 mmL = 300 mf = 0.022

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 300 m、内径 150 mm の水平管内を 1.5 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.5 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10自由放出口H = ?L = 300 m, D = 300 mm, f = 0.0153× 曲がり (K = 0.3)

長さ 300 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 80 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 80 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 40 L/sH = 60 m

効率 78% のポンプが揚程 60 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 40 L/sH = 60 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
300 kPa (ゲージ圧)PQ = 20 L/sΔz = 10 mL = 150 m, D = 100 mm, f = 0.022, ΣK = 5

ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 300 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 20 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 5ptank = 300 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 137.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
ゲートd = 2.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·4 = 137.3 kN

答え

F = 137.3 kN
2.静水圧

答え: ycp = 2.481 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
ゲートd = 1 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.25·3.75 = 104.3 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 1.953/(2.25·3.75) = 2.481 m

答え

ycp = 2.481 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 10.41 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.64·0.001963·8.287 = 0.01041 m³/s = 10.41 L/s

答え

Q = 10.41 L/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 10.44 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(60000/1000 + 9.81·5)) = 14.77 m/s

流量

Q = A·v = 0.0007069·14.77 = 0.01044 m³/s = 10.44 L/s

答え

Q = 10.44 L/s
5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 49.5 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(300/0.15)·1.5²/(2·9.81) = 5.046 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·5.046 = 49500 Pa = 49.5 kPa

答え

Δp = 49.5 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 1.789 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m

損失係数

f·L/D = 0.015·300/0.3 = 15
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 15 + 11.4)·0.06529 = 1.789 m

答え

H = 1.789 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 30.18 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·60 = 23.54 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 23.54/0.78 = 30.18 kW

答え

Pshaft = 30.18 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 53.14 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 5)·0.3305 = 12.56 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 10 + 30.58 + 12.56 = 53.14 m

答え

H = 53.14 m

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