静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 110 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 110 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 50 mm、ゲージ圧は 90 kPa である。ノズル出口の直径は 25 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 50 mmp1 = 90 kPa (ゲージ圧)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 300 m、内径 75 mm の水平管内を 2.1 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 2.1 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 16 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 16 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 82% のポンプが揚程 56 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 20 L/sH = 56 mη = 82%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 350 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 20 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 6ptank = 350 kPa
H = m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 353.2 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·9 = 353.2 kN
答え
F = 353.2 kN
2.静水圧
答え: ycp = 3.714 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.5·3 = 129.8 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 2.25/(3.5·3) = 3.714 m
答え
ycp = 3.714 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 20 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 110 + (−90) = 20 kPa
答え
p2 = 20 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: H = 9.786 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 25/50 = 0.5
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0.9375)) = 13.86 m/s
噴流の高さ
噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。
H = v2²/(2g) = 13.86²/(2·9.81) = 9.786 m
答え
H = 9.786 m
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 158.8 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(300/0.075)·2.1²/(2·9.81) = 16.18 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·16.18 = 158760 Pa = 158.8 kPa
答え
Δp = 158.8 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 22.75 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.025·100/0.1 = 25
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
16 = (25 + 12.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·16/37.4) = 2.897 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 2.897·0.007854 = 0.02275 m³/s = 22.75 L/s
答え
Q = 22.75 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 13.4 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·56 = 10.99 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 10.99/0.82 = 13.4 kW
答え
Pshaft = 13.4 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 49.61 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 6)·0.3305 = 7.932 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 35.68 + 7.932 = 49.61 m
答え
H = 49.61 m
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