流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 0.5 mH = 1.5 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 3 mH = 1 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 200 mm, p1​ = 350 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水が、200 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 350 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 350 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 75 mm, p1​ = 240 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 4 m

水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 240 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 240 kPav1 = 2 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 150 L/sD = 300 mmL = 200 mf = 0.02

水が、長さ 200 m、内径 300 mm の管内を 150 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10Δz = 23 mL = 150 m, D = 300 mm, f = 0.0183× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 23 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 23 mL = 150 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 80 L/sH = 30 m

ポンプが揚程 30 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送っている。ポンプ効率は 85%、これを駆動する電動機の効率は 92% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 80 L/sH = 30 mηpump = 85%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
100 kPa (ゲージ圧)PQ = 75 L/sΔz = 7 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0.018, ΣK = 5

ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 100 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 5ptank = 100 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 55.18 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
ゲートd = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·4.5 = 55.18 kN

答え

F = 55.18 kN
2.静水圧

答え: F = 129.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
ゲートd = 3 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.5·3 = 129.8 kN

答え

F = 129.8 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 294.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(200/75)² = 10.67 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 10.67²)/1000 = −55.76 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 350 + (−55.76) = 294.2 kPa

答え

p2 = 294.2 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 192.6 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 240 + (−8.125) − 39.24 = 192.6 kPa

答え

p2 = 192.6 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 3.06 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 2.122²/(2·9.81) = 0.2295 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(200/0.3)·2.122²/(2·9.81) = 3.06 m

答え

hf = 3.06 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 324.6 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.018·150/0.3 = 9
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

23 = (9 + 12.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·23/21.4) = 4.592 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.592·0.07069 = 0.3246 m³/s = 324.6 L/s

答え

Q = 324.6 L/s
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 30.11 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·30 = 23.54 kW

軸動力

Pshaft = 23.54/0.85 = 27.7 kW

電力

Pel = 27.7/0.92 = 30.11 kW

答え

Pel = 30.11 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 26.49 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 5)·0.2905 = 9.296 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 10.19 + 9.296 = 26.49 m

答え

H = 26.49 m

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