流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 4 mH = 1 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 1 mH = 2 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 100 mm, p1​ = 220 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

水が、100 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 220 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 220 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
pair​ = 150 kPaQ = ?d = 20 mmh = 3.5 m

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 150 kPa の圧縮空気がある。水面より 3.5 m 下にある直径 20 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

pair = 150 kPa (ゲージ圧)h = 3.5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 2.4 m/sD = 150 mmL = 200 mf = 0.03

水が、長さ 200 m、内径 150 mm の管内を平均流速 2.4 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

V = 2.4 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5Δz = ?L = 400 m, D = 300 mm, f = 0.0224× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 400 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 75 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 75 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 50 L/sH = 64 m

効率 65% のポンプが揚程 64 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 50 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 50 L/sH = 64 mη = 65%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
200 kPa (ゲージ圧)PQ = 75 L/sΔz = 5 mL = 150 m, D = 250 mm, f = 0.015, ΣK = 6

ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 200 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 6ptank = 200 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 132.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
ゲートd = 4 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答え

F = 132.4 kN
2.静水圧

答え: ycp = 2.167 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
ゲートd = 1 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2·2 = 40.22 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0.6667/(2·2) = 2.167 m

答え

ycp = 2.167 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 143.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/40)² = 12.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 12.5²)/1000 = −76.13 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 220 + (−76.13) = 143.9 kPa

答え

p2 = 143.9 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 6.032 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(150000/1000 + 9.81·3.5)) = 19.2 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·19.2 = 0.006032 m³/s = 6.032 L/s

答え

Q = 6.032 L/s
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 11.74 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 2.4²/(2·9.81) = 0.2936 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.15)·2.4²/(2·9.81) = 11.74 m

答え

hf = 11.74 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 2.125 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s
V²/(2g) = 0.05738 m

損失係数

f·L/D = 0.022·400/0.3 = 29.33
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

全損失水頭

hf = 29.33·0.05738 = 1.683 m
hm = 7.7·0.05738 = 0.4418 m
Δz = hf + hm = 2.125 m

答え

Δz = 2.125 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 48.3 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·64 = 31.39 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 31.39/0.65 = 48.3 kW

答え

Pshaft = 48.3 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 27.17 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 6)·0.119 = 1.785 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 20.39 + 1.785 = 27.17 m

答え

H = 27.17 m

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