静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 4 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
入口径 150 mm、のど部径 75 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 59 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 59 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
内径 32 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 0.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 3.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 点 C での絶対圧力 pC を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。
d = 32 mmzC = +0.5 mz2 = −3.5 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 400 m、内径 300 mm の水平管内を 1.3 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 1.3 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 500 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 120 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 120 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 72 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。ポンプ効率は 82%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 40 L/sH = 72 mηpump = 82%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 12 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 11 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 12 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 8
H = m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 66.22 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·1.5 = 66.22 kN
答え
F = 66.22 kN
2.静水圧
答え: ycp = 3.714 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 2.25/(3.5·3) = 3.714 m
答え
ycp = 3.714 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 49.56 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
連続の式
v1 = v2·(75/150)² = 0.25·v2
入口とのど部の間のベルヌーイの式
管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·59000/(1000·(1 − 0.0625))) = 11.22 m/s
v1 = 2.805 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.004418·11.22 = 0.04956 m³/s = 49.56 L/s
答え
Q = 49.56 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: pC = 62.06 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ホース内の流速
水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。
v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s
水面から C へのベルヌーイの式
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(8.287²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 39.24 = 62.06 kPa
答え
pC = 62.06 kPa
この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 20.28 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(400/0.3)·1.3²/(2·9.81) = 2.067 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·2.067 = 20280 Pa = 20.28 kPa
答え
Δp = 20.28 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 12.91 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
損失係数
f·L/D = 0.015·500/0.25 = 30
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 30 + 11.4)·0.3046 = 12.91 m
答え
H = 12.91 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 36.27 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·72 = 28.25 kW
軸動力
Pshaft = 28.25/0.82 = 34.45 kW
電力
Pel = 34.45/0.95 = 36.27 kW
答え
Pel = 36.27 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 14.57 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0.119 = 3.569 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 11 + 3.569 = 14.57 m
答え
H = 14.57 m
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