静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
大きな開放水槽から、直径 50 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 1.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.65 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d = 50 mmh = 1.5 mCd = 0.65g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水平なベンチュリ管（入口 80 mm、のど部 40 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 220 mm である。流量係数は 0.95 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 220 mmCd = 0.95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 800 m、内径 200 mm の管内を平均流速 1.4 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
V = 1.4 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 100 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 25 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 65% のポンプが揚程 30 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 80 L/sH = 30 mη = 65%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 9 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 70% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 80 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 8η = 70%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水圧
答え: F = 22.07 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·1.5 = 22.07 kN
答え
F = 22.07 kN
2.静水圧
答え: ycp = 5.636 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·5.5·6 = 407.9 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5.5 + 4.5/(5.5·6) = 5.636 m
答え
ycp = 5.636 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 6.924 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想的な噴流速度
√(2gh) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s
実際の流量
流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.65·0.001963·5.425 = 0.006924 m³/s = 6.924 L/s
答え
Q = 6.924 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 9.093 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
マノメータによる圧力差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.22 = 27193 Pa
のど部の流速
連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。
β = 40/80 = 0.5
v2 = √(2·27193/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.617 m/s
実際の流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.95·0.001257·7.617 = 0.009093 m³/s = 9.093 L/s
答え
Q = 9.093 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 7.193 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度水頭
V²/(2g) = 1.4²/(2·9.81) = 0.0999 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(800/0.2)·1.4²/(2·9.81) = 7.193 m
答え
hf = 7.193 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 1.945 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m
損失係数
f·L/D = 0.022·100/0.15 = 14.67
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 14.67 + 3.4)·0.102 = 1.945 m
答え
H = 1.945 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 36.22 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·30 = 23.54 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 23.54/0.65 = 36.22 kW
答え
Pshaft = 36.22 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 13.98 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17.6 + 8)·0.1354 = 3.466 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 9 + 3.466 = 12.47 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·12.47/0.7 = 13.98 kW
答え
Pshaft = 13.98 kW
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