流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 4 mH = 2 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 2 mH = 1.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 75 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?

水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 320 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 320 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 150 mm, p1​ = 120 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 5 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 120 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 120 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1 m/sD = 50 mmL = 500 mf = 0.018

水が、長さ 500 m、内径 50 mm の管内を平均流速 1 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

V = 1 m/sL = 500 mD = 50 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10Δz = 35 mL = 300 m, D = 250 mm, f = 0.024× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 35 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 35 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 100 L/sH = 48 m

効率 75% のポンプが揚程 48 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 100 L/sH = 48 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 80 L/sΔz = 5 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0.022, ΣK = 6

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 6
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 294.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
ゲートd = 4 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·6 = 294.3 kN

答え

F = 294.3 kN
2.静水圧

答え: F = 50.99 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
ゲートd = 2 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.75·1.5 = 50.99 kN

答え

F = 50.99 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 310 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(75/25)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 320 + (−10) = 310 kPa

答え

p2 = 310 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 70.44 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(150/100)² = 1.125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 120 + (−0.5078) − 49.05 = 70.44 kPa

答え

p2 = 70.44 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 9.174 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 1²/(2·9.81) = 0.05097 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(500/0.05)·1²/(2·9.81) = 9.174 m

答え

hf = 9.174 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 212.3 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.02·300/0.25 = 24
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

35 = (24 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·35/36.7) = 4.326 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.326·0.04909 = 0.2123 m³/s = 212.3 L/s

答え

Q = 212.3 L/s
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 62.78 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·48 = 47.09 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 47.09/0.75 = 62.78 kW

答え

Pshaft = 62.78 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 7.004 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8.8 + 6)·0.1354 = 2.004 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + hL = 5 + 2.004 = 7.004 m

答え

H = 7.004 m

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