流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 0.5 mH = 1 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 0.5 mH = 3 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 150 mm, p1​ = 390 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?

水が、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 390 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 390 kPav1 = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
d1​ = 200 mmd2​ = 150 mm12Δh = 370 mm水銀Q = ?

水平なベンチュリ管（入口 200 mm、のど部 150 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 370 mm である。流量係数は 0.97 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 370 mmCd = 0.97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1.8 m/sD = 75 mmL = 800 mf = 0.022

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 800 m、内径 75 mm の水平管内を 1.8 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.8 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10自由放出口H = ?L = 200 m, D = 150 mm, f = 0.0224× 曲がり (K = 0.3)

長さ 200 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 50 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 80 L/sH = 62 m

効率 78% のポンプが揚程 62 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 80 L/sH = 62 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 50 L/sΔz = 14 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0.015, ΣK = 4

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 14 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 14 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 4
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 9.81 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
ゲートd = 0.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·1 = 9.81 kN

答え

F = 9.81 kN
2.静水圧

答え: F = 176.6 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
ゲートd = 0.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·9 = 176.6 kN

答え

F = 176.6 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 374.6 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(150/100)² = 6.188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−15.36) = 374.6 kPa

答え

p2 = 374.6 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 198.3 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.37 = 45734 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 150/200 = 0.75
v2 = √(2·45734/(1000·(1 − 0.3164))) = 11.57 m/s

実際の流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.97·0.01767·11.57 = 0.1983 m³/s = 198.3 L/s

答え

Q = 198.3 L/s
5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 380.2 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(800/0.075)·1.8²/(2·9.81) = 38.75 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·38.75 = 380160 Pa = 380.2 kPa

答え

Δp = 380.2 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 17.15 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

損失係数

f·L/D = 0.022·200/0.15 = 29.33
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 = 11.7

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 29.33 + 11.7)·0.408 = 17.15 m

答え

H = 17.15 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 62.38 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·62 = 48.66 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 48.66/0.78 = 62.38 kW

答え

Pshaft = 62.38 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 19.71 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 4)·0.408 = 5.712 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + hL = 14 + 5.712 = 19.71 m

答え

H = 19.71 m

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