静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 390 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 390 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水平なベンチュリ管（入口 200 mm、のど部 100 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 310 mm である。流量係数は 0.95 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 200 mmd2 = 100 mmΔh = 310 mmCd = 0.95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 150 m、内径 200 mm の管内を 25 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 25 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 100 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 80 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 80 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 80% のポンプが揚程 44 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 10 L/sH = 44 mη = 80%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 15 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 65% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 15 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水圧
答え: F = 71.74 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·2.25 = 71.74 kN
答え
F = 71.74 kN
2.静水圧
答え: ycp = 3.41 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·3.75 = 119.6 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.25 + 1.953/(3.25·3.75) = 3.41 m
答え
ycp = 3.41 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 382.5 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(100/50)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−7.5) = 382.5 kPa
答え
p2 = 382.5 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 67.46 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
マノメータによる圧力差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.31 = 38318 Pa
のど部の流速
連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。
β = 100/200 = 0.5
v2 = √(2·38318/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.041 m/s
実際の流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.95·0.007854·9.041 = 0.06746 m³/s = 67.46 L/s
答え
Q = 67.46 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 0.4841 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.025/0.03142 = 0.7958 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 0.7958²/(2·9.81) = 0.03228 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(150/0.2)·0.7958²/(2·9.81) = 0.4841 m
答え
hf = 0.4841 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 1.449 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m
損失係数
f·L/D = 0.015·100/0.25 = 6
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 6 + 3.7)·0.1354 = 1.449 m
答え
H = 1.449 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 5.396 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·44 = 4.316 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 4.316/0.8 = 5.396 kW
答え
Pshaft = 5.396 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 3.442 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0.1859 = 5.205 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 10 + 5.205 = 15.21 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.015·15.21/0.65 = 3.442 kW
答え
Pshaft = 3.442 kW
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